Bienvenu(e)! Identification Créer un nouveau profil Localiser les utilisateurs Nouveaux messages non lus

Racines n-ièmes

Envoyé par erwan5032

Discussion suivante Discussion précédente

erwan5032

Racines n-ièmes
l’an passé

Membre depuis : l’an passé
Messages: 39

Bonjour, je suis face à un problème pouvez vous m' aider s'il vous plait ?
on me demande de montrer que z n'est pas une racine n-ième de l'unité avec z= (2+i)\(2-i)
je voulais le prouver par absurde et dire que z est différent de exp(2ikpi\n) mais la forme algébrique de z est inutilisable pour cela.
Merci d'avance

Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par JLT.

Répondre Citer

Chaurien

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : il y a cinq années
Messages: 4 418

C'est bien $z=\frac {2+i}{2-i}$ ?

Répondre Citer

Chaurien

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : il y a cinq années
Messages: 4 418

Je pense à utiliser les polynômes de Tchebychev I.

Répondre Citer

erwan5032

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : l’an passé
Messages: 39

oui c'est bien ça

Répondre Citer

erwan5032

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : l’an passé
Messages: 39

je peux montrer que z est différent de exp(2ikpi\n) ?

Répondre Citer

Chaurien

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : il y a cinq années
Messages: 4 418

Plus généralement, on peut trouver tous les couples $(r,s) \in \mathbb Q^2$ tels que : $\cos r \pi=s$.
Je suis certain qu'on en a déjà parlé sur ce forum, mais ... je ne sais plus quand, je ne sais plus où.
Bonne journée ensoleillée.
Fr. Ch.

Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Chaurien.

Répondre Citer

erwan5032

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : l’an passé
Messages: 39

mais je veux prouver que z n'est pas une racine n-ième ...

Répondre Citer

Chaurien

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : il y a cinq années
Messages: 4 418

Soit $z = a+bi$, $a$ et $b$ réels. Alors, $a= \cos \theta$, $b= \sin \theta$. Si $z$ était une racine $n$-ème de l'unité, alors $ \cos n \theta =1$.

Répondre Citer

flipflop

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : il y a quatre années
Messages: 2 276

C'est dans quel contexte cet exercice ? Je veux dire ton niveau d'étude ?

Répondre Citer

Chaurien

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : il y a cinq années
Messages: 4 418

Excellent question flipflop. Tous les questionneurs devraient donner le maximum de précisions sur le contexte de leurs questions, dans leur propre intérêt.

Répondre Citer

noix de totos

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : il y a trois années
Messages: 1 579

Le nombre $z$ étant de module $1$, on pose $z=e^{i \theta}$. Si $z$ était une racine $n$-ème de l'unité, il existerait $k \in \{0,\dotsc,n-1\}$ tel que $\sin \left( \frac{2 k \pi}{n} \right) = \sin \theta = \frac{4}{5}$, ce qui contredit le théorème de Niven [books.google.fr] (Corollary 3.12 de ce livre) .

Répondre Citer

erwan5032

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : l’an passé
Messages: 39

mpsi

Répondre Citer

Chaurien

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : il y a cinq années
Messages: 4 418

D'accord avec noix de totos pour rendre hommage à l'oeuvre d'Ivan Niven, mais Erwan, élève de MPSI, est peut-être excusable de ne pas la connaître, à la mi-premier trimestre, et peut-être même plus tard dans l'année...

Alors pour redescendre sur Terre, suggérons à Erwan de prouver qu'il existe un polynôme $T_n(X)$ à coefficients entiers tel que : $\cos n \theta =T_n(\cos \theta )$, et que $\frac {3}{5}$ ne peut être racine de $T_n(X)-1$. Enfin, c'est une idée, il y en a peut-être d'autres...

Bon courage.
Fr. Ch.

Répondre Citer

gerard0

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : il y a neuf années
Messages: 25 131

Oui, il a eu d'autres méthodes, par exemple sur cet autre forum.

Cordialement.

Répondre Citer

erwan5032

Re: Racines n-ièmes
l’an passé

Membre depuis : l’an passé
Messages: 39

bonjour, j'ai z= 3\5 + 4\5i
JE PEUX POSER z^n= an+bni
et montrer que an n'est pas un multiple de 5

Répondre Citer

erwan5032

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : l’an passé
Messages: 39

l'argument de Z est introuvable

Répondre Citer

Chaurien

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : il y a cinq années
Messages: 4 418

Appelle-le $\theta$, et à défaut d'autre chose, fais donc ce que je t'ai suggéré.

Répondre Citer

noix de totos

Re: Racines n-ièmes
l’an passé

Membre depuis : il y a trois années
Messages: 1 579

@Chaurien : je suis d'accord, mais, au moment où j'ai tapé le texte, j'ignorais qu'il était en MPSI.

Comme quoi, je te rejoins avec Flipflop : il faut toujours indiquer son niveau d'étaude, sous peine de recevoir des réponses pas toujours bien adaptées...

@Gerard : merci pour le lien (que j'ignorais, car je ne fréquente aucun autre forum).

Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par noix de totos.

Répondre Citer

erwan5032

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : l’an passé
Messages: 39

pouvez-vous réexpliquer ce raisonnement s'il vous plait ?

Répondre Citer

erwan5032

Re: Racines n-ièmes
l’an passé

Membre depuis : l’an passé
Messages: 39

puis-je procéder par absurde et trouver une contradiciton soit donc Z^n est différent de exp(2ikpi\n) ?

Répondre Citer

Chaurien

Re: RACINES n-ième
l’an passé

Membre depuis : il y a cinq années
Messages: 4 418

Tu as : $z=\cos \theta+i \sin \theta$, avec $\cos \theta =\frac {3}{5}$ et $\sin \theta =\frac {4}{5}$. Si $z$ était une racine $n$-ème de l'unité, alors $\cos n \theta =1$.
Alors, je répète, prouve qu'il existe un polynôme $T_n (X)$ à coefficients entiers (relatifs) tel que : $\cos n \theta =T_n(\cos \theta )$.
Et, je répète, prouve que $\frac {3}{5}$ ne peut être racine de $T_n(X)-1$.
Bon courage.
Fr. Ch.

Répondre Citer

erwan5032

Re: Racines n-ièmes
l’an passé

Membre depuis : l’an passé
Messages: 39

Ok merci de votre aide et de votre compréhension

Répondre Citer

claude quitté

Re: Racines n-ièmes
l’an passé

Membre depuis : il y a trois années
Messages: 4 889

@erwan5032
Bien, encore un exercice de fait. Je me permets un petit commentaire : qu'en restera-t-il ? Je n'en sais rien. Et j'ajoute juste un petit (encore) quelque chose : est ce que tu connais le sous-corps $\Q(i)$ de $\C$ :
$$
\Q(i) = \{ a + ib \mid a, b \in \Q \}
$$
Je fais comme si tu avais répondu oui. Et bien vois tu des racines de l'unité dans $\Q(i)$ ?

PS : ne prends pas ce post au pied de la lettre. Tu as sans aucun doute d'autres choses à faire ... comme par exemple d'autres exercices de maths.
Bon courage.
Claude Q.

Répondre Citer

Discussion suivante Discussion précédente

Aperçu avant impression

Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 134 343, Messages: 1 293 746, Utilisateurs: 23 308.
Notre dernier utilisateur inscrit raoul.S.

Ce forum
Discussions: 16 760, Messages: 162 432.