Racines n-ièmes

erwan5032

Racines n-ièmes
il y a onze mois

Membre depuis : il y a onze mois
Messages: 39

Bonjour, je suis face à un problème pouvez vous m' aider s'il vous plait ?
on me demande de montrer que z n'est pas une racine n-ième de l'unité avec z= (2+i)\(2-i)
je voulais le prouver par absurde et dire que z est différent de exp(2ikpi\n) mais la forme algébrique de z est inutilisable pour cela.
Merci d'avance

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Chaurien

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a quatre années
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C'est bien $z=\frac {2+i}{2-i}$ ?

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Chaurien

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a quatre années
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Je pense à utiliser les polynômes de Tchebychev I.

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erwan5032

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a onze mois
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oui c'est bien ça

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erwan5032

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a onze mois
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je peux montrer que z est différent de exp(2ikpi\n) ?

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Chaurien

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a quatre années
Messages: 4 311

Plus généralement, on peut trouver tous les couples $(r,s) \in \mathbb Q^2$ tels que : $\cos r \pi=s$.
Je suis certain qu'on en a déjà parlé sur ce forum, mais ... je ne sais plus quand, je ne sais plus où.
Bonne journée ensoleillée.
Fr. Ch.

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par Chaurien.

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erwan5032

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a onze mois
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mais je veux prouver que z n'est pas une racine n-ième ...

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Chaurien

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a quatre années
Messages: 4 311

Soit $z = a+bi$, $a$ et $b$ réels. Alors, $a= \cos \theta$, $b= \sin \theta$. Si $z$ était une racine $n$-ème de l'unité, alors $ \cos n \theta =1$.

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flipflop

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a trois années
Messages: 2 276

C'est dans quel contexte cet exercice ? Je veux dire ton niveau d'étude ?

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Chaurien

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a quatre années
Messages: 4 311

Excellent question flipflop. Tous les questionneurs devraient donner le maximum de précisions sur le contexte de leurs questions, dans leur propre intérêt.

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noix de totos

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a trois années
Messages: 1 463

Le nombre $z$ étant de module $1$, on pose $z=e^{i \theta}$. Si $z$ était une racine $n$-ème de l'unité, il existerait $k \in \{0,\dotsc,n-1\}$ tel que $\sin \left( \frac{2 k \pi}{n} \right) = \sin \theta = \frac{4}{5}$, ce qui contredit le théorème de Niven [books.google.fr] (Corollary 3.12 de ce livre) .

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erwan5032

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a onze mois
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mpsi

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Chaurien

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a quatre années
Messages: 4 311

D'accord avec noix de totos pour rendre hommage à l'oeuvre d'Ivan Niven, mais Erwan, élève de MPSI, est peut-être excusable de ne pas la connaître, à la mi-premier trimestre, et peut-être même plus tard dans l'année...

Alors pour redescendre sur Terre, suggérons à Erwan de prouver qu'il existe un polynôme $T_n(X)$ à coefficients entiers tel que : $\cos n \theta =T_n(\cos \theta )$, et que $\frac {3}{5}$ ne peut être racine de $T_n(X)-1$. Enfin, c'est une idée, il y en a peut-être d'autres...

Bon courage.
Fr. Ch.

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gerard0

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a neuf années
Messages: 23 587

Oui, il a eu d'autres méthodes, par exemple sur cet autre forum.

Cordialement.

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erwan5032

Re: Racines n-ièmes
il y a onze mois

Membre depuis : il y a onze mois
Messages: 39

bonjour, j'ai z= 3\5 + 4\5i
JE PEUX POSER z^n= an+bni
et montrer que an n'est pas un multiple de 5

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erwan5032

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a onze mois
Messages: 39

l'argument de Z est introuvable

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Chaurien

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a quatre années
Messages: 4 311

Appelle-le $\theta$, et à défaut d'autre chose, fais donc ce que je t'ai suggéré.

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noix de totos

Re: Racines n-ièmes
il y a onze mois

Membre depuis : il y a trois années
Messages: 1 463

@Chaurien : je suis d'accord, mais, au moment où j'ai tapé le texte, j'ignorais qu'il était en MPSI.

Comme quoi, je te rejoins avec Flipflop : il faut toujours indiquer son niveau d'étaude, sous peine de recevoir des réponses pas toujours bien adaptées...

@Gerard : merci pour le lien (que j'ignorais, car je ne fréquente aucun autre forum).

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par noix de totos.

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erwan5032

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a onze mois
Messages: 39

pouvez-vous réexpliquer ce raisonnement s'il vous plait ?

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erwan5032

Re: Racines n-ièmes
il y a onze mois

Membre depuis : il y a onze mois
Messages: 39

puis-je procéder par absurde et trouver une contradiciton soit donc Z^n est différent de exp(2ikpi\n) ?

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Chaurien

Re: RACINES n-ième
il y a onze mois

Membre depuis : il y a quatre années
Messages: 4 311

Tu as : $z=\cos \theta+i \sin \theta$, avec $\cos \theta =\frac {3}{5}$ et $\sin \theta =\frac {4}{5}$. Si $z$ était une racine $n$-ème de l'unité, alors $\cos n \theta =1$.
Alors, je répète, prouve qu'il existe un polynôme $T_n (X)$ à coefficients entiers (relatifs) tel que : $\cos n \theta =T_n(\cos \theta )$.
Et, je répète, prouve que $\frac {3}{5}$ ne peut être racine de $T_n(X)-1$.
Bon courage.
Fr. Ch.

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erwan5032

Re: Racines n-ièmes
il y a onze mois

Membre depuis : il y a onze mois
Messages: 39

Ok merci de votre aide et de votre compréhension

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claude quitté

Re: Racines n-ièmes
il y a onze mois

Membre depuis : il y a trois années
Messages: 4 195

@erwan5032
Bien, encore un exercice de fait. Je me permets un petit commentaire : qu'en restera-t-il ? Je n'en sais rien. Et j'ajoute juste un petit (encore) quelque chose : est ce que tu connais le sous-corps $\Q(i)$ de $\C$ :
$$
\Q(i) = \{ a + ib \mid a, b \in \Q \}
$$
Je fais comme si tu avais répondu oui. Et bien vois tu des racines de l'unité dans $\Q(i)$ ?

PS : ne prends pas ce post au pied de la lettre. Tu as sans aucun doute d'autres choses à faire ... comme par exemple d'autres exercices de maths.
Bon courage.
Claude Q.

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