Racines n-ièmes

Je pense à utiliser les polynômes de Tchebychev I.

C'est dans quel contexte cet exercice ? Je veux dire ton niveau d'étude ?

Le nombre $z$ étant de module $1$, on pose $z=e^{i \theta}$. Si $z$ était une racine $n$-ème de l'unité, il existerait $k \in \{0,\dotsc,n-1\}$ tel que $\sin \left( \frac{2 k \pi}{n} \right) = \sin \theta = \frac{4}{5}$, ce qui contredit le théorème de Niven https://books.google.fr/books?redir_esc=y&hl=fr&id=ov-IlIEo47cC&q=Corollary+3.12#v=snippet&q=Corollary 3.12&f=false (Corollary 3.12 de ce livre) .

D'accord avec noix de totos pour rendre hommage à l'oeuvre d'Ivan Niven, mais Erwan, élève de MPSI, est peut-être excusable de ne pas la connaître, à la mi-premier trimestre, et peut-être même plus tard dans l'année...

Alors pour redescendre sur Terre, suggérons à Erwan de prouver qu'il existe un polynôme $T_n(X)$ à coefficients entiers tel que : $\cos n \theta =T_n(\cos \theta )$, et que $\frac {3}{5}$ ne peut être racine de $T_n(X)-1$. Enfin, c'est une idée, il y en a peut-être d'autres...

Bon courage.
Fr. Ch.

Appelle-le $\theta$, et à défaut d'autre chose, fais donc ce que je t'ai suggéré.

Tu as : $z=\cos \theta+i \sin \theta$, avec $\cos \theta =\frac {3}{5}$ et $\sin \theta =\frac {4}{5}$. Si $z$ était une racine $n$-ème de l'unité, alors $\cos n \theta =1$.
Alors, je répète, prouve qu'il existe un polynôme $T_n (X)$ à coefficients entiers (relatifs) tel que : $\cos n \theta =T_n(\cos \theta )$.
Et, je répète, prouve que $\frac {3}{5}$ ne peut être racine de $T_n(X)-1$.
Bon courage.
Fr. Ch.

@erwan5032
Bien, encore un exercice de fait. Je me permets un petit commentaire : qu'en restera-t-il ? Je n'en sais rien. Et j'ajoute juste un petit (encore) quelque chose : est ce que tu connais le sous-corps $\Q(i)$ de $\C$ :
$$
\Q(i) = \{ a + ib \mid a, b \in \Q \}
$$
Je fais comme si tu avais répondu oui. Et bien vois tu des racines de l'unité dans $\Q(i)$ ?

PS : ne prends pas ce post au pied de la lettre. Tu as sans aucun doute d'autres choses à faire ... comme par exemple d'autres exercices de maths.
Bon courage.
Claude Q.