Montrer que 2 anneaux ne sont pas isomorphes

raphaelattias
raphaelattias
dans Algèbre
Bonjour, je bloque en algèbre sur la question suivante :

Montrer que les anneaux (Z[t], +, ·) et (Q[t], +, ·) ne sont pas isomorphes.

Si j'ai bien compris je dois montrer qu'il n'existe pas d'isomorphismes entre Z[t] et Q[t], à mon avis le fait que l'ensemble Q ne soit pas compris dans Z est la clé du problème mais je ne sais pas quoi faire ensuite.

Quelqu'un pour m'aider ? :)

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Les groupes des unités ne sont pas isomorphes : l'un est fini, l'autre non.
  • raphaelattias
    raphaelattias
    Ah je vois ! Donc l'objectif de cet exercice ça serait de démontrer que Z est dénombrable, Q est indénombrable donc il n'existe pas d'isomorphisme possible ?

    En y repensant je dis n'importe quoi, pourrais-tu m'expliquer pour l'un est fini et l'autre non ?
  • rakam
    rakam
    Bonsoir !
    $\Q$ ne serait pas dénombrable ? Rester sur terre, c'est possible ?
  • raphaelattias
    raphaelattias
    Un peu de fatigue et un long week-end à travailler l'analyse et la physique suffit à me faire dire n'importe quoi, sinon une idée pour la résolution du problème ?
  • Poirot
    Poirot
    Les inversibles de $A[T]$ quand $A$ est un anneau intègre sont les inversibles de $A$ (exercice). Quels sont les inversibles de $\mathbb Z$ ? Et ceux de $\mathbb Q$ ?
  • Chaurien
    Chaurien
    Je précise que par « groupe des unités » j'entends : groupe multiplicatif des éléments de l'anneau qui sont inversibles dans l'anneau.
  • Chaurien
    Chaurien
    Et ce n'est même pas la peine d'aller chercher ça : déjà les groupes additifs ne sont pas isomorphes.
  • raphaelattias
    raphaelattias
    Chaurien donc si je montre qu'il n'existe pas d'isomorphismes entre (Z[t], +) et (Q[t], +) c'est une réponse suffisante au problème donné ?

    Est-ce que tu pourrais m'indiquer les étapes à suivre pour résoudre un problème de ce type ? Ça fait un moment que je bloque :(
  • Poirot
    Poirot
    Oui cela suffit car un morphisme d'anneaux est en particulier un morphisme de groupes pour la structure additive sous-jacente. Pour montrer que ces deux groupes ne sont pas isomorphes, tu peux montrer que $\mathbb Q[T]$ est $2$-divisible (c'est-à-dire que tout élément peut s'écrire comme le double d'un autre) alors que $\mathbb Z[T]$ ne l'est pas.
  • raphaelattias
    raphaelattias
    Génial Poirot merci beaucoup !
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