Bijection

Ce n' est quand même pas tout à fait aussi immédiat. Juste les grandes lignes :
Étant donné un naturel $k$, il existe un unique naturel $s$ tel que $\binom{s+1}2\leqslant k< \binom{s+2}2$. On pose alors $p=k-\binom{s+1}2$, puis $q=s-p$. Il reste à vérifier que $s$ est un naturel et que $f(p,q)=k$.

@Math Coss
Sais tu que l'on pourrait s'entendre ?

20 
14 19 
 9 13 18 
 5  8 12 17 
 2  4  7 11 16 
 0  1  3  6 10 15 

Est ce que l'on comprend ce que j'ai voulu faire ? J'ai commencé à numéroter $\N \times \N$ avec $0, 1, 2, 3, \cdots$, en remontant sur les diagonales $\diagdown$ à partir du bas. Clair, pas clair ? Sauf que j'ai utilisé $(p,q) \mapsto {(p+q)(p+q+1) \over 2} + q$ et pas $(p,q) \mapsto {(p+q)(p+q+1) \over 2} + p$. C'est pas bien.