idéal non fini des fonctions continues

Greenl · October 2017

Bonjour,

La question suivante me turlupine, surtout qu'elle est probablement évidente:

Si on considère l'anneau A des fonctions continues et J l'idéal des fonctions continues s'annulant en 0.
Intuitivement, il me semble évident que J ne peut pas être de type fini. Néanmoins je n'arrive pas à le prouver.

La seule idée que j'ai eu est la suivante et je ne sais pas si elle peut mener à quelque chose:
J est maximal. Donc si on considère une fonction g valant 1 en 0, on a que A=J+A.g
J'essaie alors de parvenir à une contradiction (mais sans succès) en prenant un "bon g" ,en exprimant g en fonction des f_i engendrant J.

Merci d'avance pour vos réponses

Pea · October 2017

Une idée: Raisonne par l'absurde, suppose donc que $J=(f_1,\ldots,f_n)$, et considère la fonction

$\displaystyle f:x\mapsto \sqrt{\lvert f_1(x)\rvert+\ldots+\lvert f_n(x)\rvert}$

Greenl · October 2017

Je pense que tu veux généraliser la technique servant à montrer que ce n'est pas un idéal principal.
Mais malheureusement, malgré mes tentatives je ne pense pas que ce procédé se généralise bien au cas où il y a plus d'un générateur.

Auriez vous d'autres idées?