Corps des fractions
J'ai une préoccupation. Si on prendre $2\mathbb Z^*$ comme partie multiplicative pour l'anneau des fractions de $\mathbb Z$ on obtient que $\frac{2}{2}$ est l'élément unité de ($2\mathbb Z^*)^{-1}\mathbb Z$. Or ($2\mathbb Z^*)^{-1}\mathbb Z$ est un sous anneau de ($\mathbb Z^*)^{-1}\mathbb Z$ et ceux dernier a pour élément unité $\frac{3}{3}$. Etant donné que l'élément unité est unique on aurait $\frac{2}{2}=\frac{3}{3}$. Or 3 n'est pas dans $2\mathbb Z$. Comment comprendre cela s'il vous pmaut????
Réponses
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Par politesse pour les lecteurs, peux-tu éditer ton message afin qu'il devienne plus clairement lisible ?
Et à l'avenir, utilise le bouton "Aperçu" pour vérifier l'aspect du message que tu envoies. Merci ! -
J'aimerais bien le faire mais puisque mon téléphone fait a sa tête et ne me permet pas de voir l'aperçu je suis contraint d'envoyer ensuite modifier. Je m'excuse pour cela.
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$\mathbb Z^*$ n'est pas un anneau.
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Je m'excuse j'utilise un téléphone médiocre pour essayer de passer mon message. C'était juste une erreur de frappe.
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On a un isomorphisme (canonique) de l'anneau de fractions $\Z[(2\Z^*)^{-1}]$ sur $\Q$, qui envoie $a/b$ sur $a/b$. Le premier est une classe d'équivalence dans l'ensemble $\Z\times 2\Z^*$, le deuxième une classe d'équivalence dans l'ensemble $\Z\times \Z^*$. Et pour cette relation d'équivalence sur $\Z\times \Z^*$, le couple $(2,2)$ est équivalent au couple $(3,3)$. Où est le problème ?
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Voici le problème me vient quand je veux montrer que $(\mathbb {2Z^*})^{-1}\mathbb {2Z}=\mathbb Q$.
En effet soit $x\in (\mathbb {2Z^*})^{-1}\mathbb {2Z}.$
Alors $x=\frac{2p}{2q}$, $p\in \mathbb Z$,$q\in \mathbb Z^*$. (Le professeur dit qu'on ne peut écrire $x=\frac{2p}{2q}=\frac{p}{q}$ avant de dire que $x\in \mathbb Q$ ) mais plutôt conclure directement que $x\in \mathbb Q$. -
L'éqalité $(\mathbb {2Z^*})^{-1}\mathbb {2Z}=\mathbb Q$ est en fait une identification via un isomorphisme canonique, comme je te l'ai déjà expliqué : on identifie $\frac{2p}{2q}$ (classe d'équivalence appartenant à $(\mathbb {2Z^*})^{-1}\mathbb {2Z}$) à $\frac{2p}{2q}$ (classe d'équivalence appartenant à $(\mathbb {Z^*})^{-1}\mathbb {Z}$). On les identifie tellement qu'on les note de la même façon . Et dans $(\mathbb {Z^*})^{-1}\mathbb {Z}$, on a $\frac{2p}{2q}=\frac{p}{q}$. C'est ce que dit ton prof.
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Ecxatement mais pourquoi dans $(\mathbb {2Z^*})^{-1}\mathbb {2Z} $ On a pas $ \frac{2p}{2q}=\frac{p}{q}$???
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Car $q$ n'est pas nécessairement un élément de $2\mathbb Z$, donc ça n'aurait pas de sens d'écrire $\frac{p}{q}$.
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Parce que le couple $(p,q)$ n'est pas un élément de $\Z\times 2\Z^*$ si $q$ n'est pas pair. À ce moment là $\frac p q$ ne fait pas sens comme classe d'un élément de $\Z\times 2\Z^*$, c.-à-d. comme élément de $\Z[(2\Z^*)^{-1}]$.
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Ah OK je pensais que c'était un problème de l'élément unité alors que le problème était juste là. Merci à vous.
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J'ai une autre préoccupation. On me donne un groupe multiplicative $S\subset \mathbb Z^*$ et me demande à quelles conditions $S^{-1}\mathbb Z=\mathbb Q$??.
Moi j'ai trouvé seulement quand $S=\mathbb Z^*$. Mais il semblerait qu'il y ait plusieurs autres conditions. De l'aide pour les trouver svp. -
Des sous-groupes multiplicatifs de $\Z$, il n'y en a pas besef. Tu t'es trompé dans la terminologie.
On vient de voir que $\Z[(2\Z^*)^{-1}]$ est canoniquement isomorphe à $\Q$, et on a vu en gros pourquoi. Tu peux généraliser. -
$(\mathbb Z^{-1})\mathbb Z=${$ \frac{p}{q}, p\in \mathbb Z, q\in \mathbb Z^*$}=$\mathbb Q$.
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Peux-tu décrire $(3 \mathbb Z \setminus \{0\})^{-1} \mathbb Z$ ? (quelle horreur cette notation de $\mathbb Z^*$)
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Et après calcul je constate même que pour $S= \mathbb {pZ^*}$. $ p\in \mathbb N$ on a le même résultat. ( ici $A^*=A$\{$0$}.
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$(\mathbb 3Z^*)^{-1}\mathbb Z=${$ \frac{p}{3q}, p\in \mathbb Z, q\in \mathbb Z^*$}.
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C'est vrai mais je ne suis pas certain que tu vois que ce n'est pas immédiat. (je ne dis pas que c'est difficile à montrer, mais ce n'est pas la définition)
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Poirot je m'excuse mais c'est la notation de mon cours.
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La définition de $(3 \mathbb Z \setminus \{0\})^{-1} \mathbb Z$ est $$\{\frac{a}{b}, a \in \mathbb Z, b \in 3\mathbb Z \setminus \{0\}\},$$ il s'agit donc de $$\{\frac{a}{3q}, a \in \mathbb Z, q \in \mathbb Z \setminus \{0\}\}.$$
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Tu abuses, tu as édité ton message. Je ne t'aiderai pas plus, tu devrais avoir compris maintenant.
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En faite j'écris, j'envoie ,je lis ensuite j'édite . mon téléphone ne me permet pas d'utiliser l'aperçu et je ne sais pas pourquoi.
J'edite juste ou j'ai fait les erreurs de frappe. D'accord je m'excuse je ferais l'effort de ne plus faire les erreurs de frappe. Bien vouloir revenir sur votre décision s'il vous plaît. -
Sais-tu pourquoi l'anneau $$\Big\{\frac{a}{3q}\mid a \in \mathbb Z,\ q \in \mathbb Z \setminus \{0\}\Big\}$$ est isomorphe à $\mathbb Q$ ?
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Pourquoi parlez vous d'isomorphisme et pourtant je parle d'égalité.
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Bon, je vois que tu n'as rien compris à ce que j'ai essayé d'expliquer. :-(
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