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réguliers, inversibles, diviseurs de zéros

Envoyé par mathematico 
réguliers, inversibles, diviseurs de zéros
l’an passé
Première question :
Soit $A$ un anneau unitaire
Étant donné les définitions suivantes :
$a$ est dit diviseur de zéro à droite s'il existe $b \in A^{*} $ (edit : ie $b$ non nul) tel que $ b \times a=0$
$a$ est dit régulier à gauche si pour $a,x,y \in A$ on a $ (ax=ay)$ implique $x=y$

Je sais qu'un diviseur de zéro à gauche (respec, à droite) ne peut pas être régulier à gauche( respec. à droite) preuve ci-dessous, mais peut-il l'être à gauche ?
preuve : supposons que $a$ est diviseur de zéro à gauche, il existe, donc, $b \in A^{*}$ tel que $ab=0$, on a alors $0=a \times 0 = a \times b$ alors que $ b \ne 0$ d'où $a$ n'est pas simplifiable (ie n'est pas régulier à gauche)
Réciproquement, Supposons que a n'est pas diviseur de zéro donc pour tout $b \in A^{*}$ on a $ab \ne 0$.
Soient $x,y \in A$ telles que $ax=ay$ on a donc $a(x-y)=0$ d'où $(x-y)=0$ puis $x=y$

J'ai l'impression que cette preuve est lourde et n'est pas du tout élégante, y a-t-il d'autres moyens pour la rédiger ?

Deuxième question :
Si je définit un diviseur de zéro comme un diviseur à droite et à gauche de zéro et un élément régulier s'il est régulier à droite et régulier à gauche. Je peux dire tout court qu'un élément est régulier si et seulement si il n'est pas diviseur de zéro (1).
Cependant, mon prof définit la notion d'élément régulier comme moi, mais la notion de diviseur de zéro d la façon suivante : un diviseur de zéro comme un diviseur à droite ou à diviseur gauche de zéro. Dans ce cas l'équivalence (1) reste-t-il encore vraie ?

Troisième question :
1ere et 2eme questions avec inversible à droite, inversible à gauche ?

Merci.



Edité 17 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par mathematico.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
avatar
Bonjour,

je reste assez perplexe quant à la définition du 'diseur' de zéro à droite, je verrai plutôt in(ver)sible.

je laisse aux spécialistes le soin de répondre concernant les deux questions posées.

Jean-éric.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
C'était une faute de frappe, je l'ai corrigé.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Bonjour,

Première Question: Il y a une erreur dans ta définition du diviseur de zéro , b est dans l'anneau A et pas forcement un élément inversible dans A (Si on ne définit qu'avec les éléments inversibles , on aurait a=0 , ça n'a pas d'intérêt).

Je ne comprends pas ce que tu essaie de prouver , ni ta preuve : tu pars d'un élément diviseur de zéro à gauche pour trouver qu'il est régulier à gauche, bizarre

Deuxième question: C'est ton prof qui a raison: un élément n'est pas un diviseur de zéro si il n'est pas diviseur de zéro à droite "et" il n'est pas diviseur de zéro à gauche donc il est diviseur de zéro s'il est diviseur de zéro à droite ou diviseur de zéro à gauche.

Cordialement, :)

CH
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Un, exemple : $A$ l'anneau des $K$-endormorphismes de l'espace vectoriel $K[X]$ des polynômes à coefficients dans $K$.
$a$ l'endomorphisme de multiplication par $X$.

Je te laisse explorer.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
1/ j'ai pas demandé à b d'être inversible! c'est un élément non nul. j'essaie de prouver qu'un élément est régulier à gauche si et seulement si il n'est pas diviseur de zéro à gauche.
J'ai d'abord montré le sens directe par contraposée en supposant qu'il est diviseur de zéro à gauche et j'ai montré qu'il n'est pas régulier à gauche. Puis, le sens réciproque en supposant qu'il n'est pas un diviseur de zéro et j'ai montré qu'il est régulier.
2/ J'ai trouvé déjà les deux définitions différentes dans deux cours différents : Bernard Gostiaux- Algèbre 1 et le cours de mon prof



Edité 4 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par mathematico.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
La première réaction de ReDK121 s'explique par ton utilisation de la notation $A^*$ qui désigne souvent le groupe multiplicatif des inversibles de $A$.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
1/ Je me suis embrouillée avec la notation étoile (qui pour moi signifie inversible) , désolée.

Pour ce qui est de ta preuve, ce n'est toujours pas clair , tu écris dans ton message d'origine:
"Je sais qu'un diviseur de zéro à droite ne peut pas être régulier à droite preuve ci-dessous" C'était la phrase qui prêtait à confusion puisqu'après tu utilisais les notions à gauche

2/ Je pense qu'on est d'accord que les deux définitions ne sont pas les mêmes et elles ne peuvent coexister , je maintiens pour la raison que j'ai citée plus haut que c'est ton prof qui a raison

Cordialement,

CH
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
1/ Oui j'ai corrigé la phrase qui est avant ma preuve.
2/ J'avoue que votre définition me semble plus logique.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
1/ Ok :)
2/ Je regarderai (si j'ai le temps) le Gostiaux pour voir cette histoire :) .
3/ Si tu réponds à 1/ et 2/ , tu pourras la déduire

Je te conseille de traiter l'exemple de GaBuZoMeu ça t'éclaircira les idées :)

Bonne soirée!
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Oui je suis entrain de l'étudier , i will be back.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Finalement si j'opte pour la définition de mon prof, il y a aussi la possibilité qu'un diviseur de zéro soit régulier, car un diviseur de zéro peut être diviseur de zéro parce qu'il est un diviseur à gauche et non pas à droite, donc peut être régulier à droite et donc régulier car régulier = régulier à droite OU à gauche?
Pour l'exemple, je me coinçe un peu car on n'a pas encore bien abordé les polynômes, je vous serais reconnaissante, si vous pouviez me guider encore un peu.
Edit: NON, j'ai écris une grande bêtise, régulier = régulier à droite et à gauche donc, un diviseur de zéro ne peut jamais être régulier, au plus il est régulier d'un seul coté (même coté de diviseur de zéro)



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par mathematico.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Non, si tu optes pour la définition de ton prof (qui est la définition correcte ) , dès lors que ton élément est diviseur de zéro à gauche alors il est diviseur de zéro (qu il le soit à droite ou non) et alors il ne sera pas régulier. Donc , pas de contradiction.

Pour l'exemple, essaie, par exemple , de trouver un élément b de A tel que aob=0 . (Je dis ça sans être certaine, faudrait que je regarde en détail pour voir où il voulait te guider) :)
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Oui j'ai compris mon erreur car il ne sera pas régulier à gauche et donc non régulier (qu'il le soit à droite ou pas).
Pour moi $a \circ b= 0$ signifie $b=0$ car a est linéaire. Selon ça, $a$ n'est pas donc un diviseur à gauche de zéro, Il est régulier à gauche car pour deux endomorphismes $b$ et $c$ tels que $a \circ b = a \circ c$. Soit un polynôme $P$, on a $a(b(P))=a(c(P))$ donc, comme $a$ est un endomorphisme d'espace vectoriel, $ a(b(P)-c(P)) = 0$ d'où $b(P)=c(P)$ , ceci étant valable pour tout polynôme P donc $b=c$
Remarque : a n'est pas diviseur à gauche, il peut l'être à droite donc il peut être diviseur de zéro et donc non régulier.
Vérifions que $a$ il n'est pas régulier à droite : prenons deux endomorphismes $b$ et $c$ tels que $b \circ a = c \circ a$. Soit un polynôme $P$, on a $b(a(P))=c(a(P))$ .
Question : a-t-on nécessairement $b = c$ ?
Réponse : peut être non, je cherche contre-exemple.
PS : j'ai l’impression que j'ai fait une erreur de raisonnement, mais même avec les erreurs j'apprends, donc tant mieux.



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par mathematico.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Bonjour, je n'ai pas trouvé confused smiley.Is there anyone who can help me please ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par mathematico.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Si tu multiplies un polynôme par $X$, puis fais $X=0$, que trouves-tu ?
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Je trouve $0 .P=0 $
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Je n'écrirais pas ça comme ça (plutôt $0\times P(0)$), mais bon.
Alors ?
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Justement je ne trouve pas ce "alors", je ne comprends pas exactement ce que je cherche



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par mathematico.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Ce que tu cherches depuis le début : je t'ai donné un $a$ qui est régulier d'un côté, et tu essaies de voir qu'il est diviseur de $0$ de l'autre côté !
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Oui donc je dois trouver un endomorphisme $b$ non nul tel que $ b \circ a =0 $
Si je prends $b$ qui associe à chaque polynôme l'évaluation en une racine, ça marche ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Je t'ai déjà donné un $b$. Tu n'as pas réalisé ?
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
ça m'a perturbé parce que le $b$ (qui à chaque polynôme associe l'évaluation en 0) que tu m'as donné il est à droite !

Edit : j'ai constaté ma faute, la loi est $\circ$ et non pas la multiplication usuelle donc $b : P \to P(0)$ et $ a :P \to X \times P)$
$b \circ a (P) = b(a(P))= b(X \times P) = 0 \times P(0)=0$ d'où on a bien $b \circ a = 0 $alors que $b$ et l'endomorphisme non nul, d'où $a$ est diviseur de zéro à droite mais aussi régulier à gauche.
Merci beaucoup à tous ceux qui sont passés et exceptionnellement à GaBuZoMeu smiling smiley



Edité 5 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par mathematico.
Re: Questions sur les anneaux
l’an passé
Avec plaisir.
Tu remarqueras que ce qui fait marcher le truc, c'est qu'on est en dimension infinie et qu'on a un endomorphisme qui est injectif mais pas surjectif. Pour changer de côté, tu peux fabriquer un endomorphisme qui est surjectif mais pas injectif (sur l'espace vectoriel des polynômes, il y en a un facile à décrire).
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