réguliers, inversibles, diviseurs de zéros

Première question :
Soit $A$ un anneau unitaire
Étant donné les définitions suivantes :
$a$ est dit diviseur de zéro à droite s'il existe $b \in A^{*} $ (edit : ie $b$ non nul) tel que $ b \times a=0$
$a$ est dit régulier à gauche si pour $a,x,y \in A$ on a $ (ax=ay)$ implique $x=y$

Je sais qu'un diviseur de zéro à gauche (respec, à droite) ne peut pas être régulier à gauche( respec. à droite) preuve ci-dessous, mais peut-il l'être à gauche ?
preuve : supposons que $a$ est diviseur de zéro à gauche, il existe, donc, $b \in A^{*}$ tel que $ab=0$, on a alors $0=a \times 0 = a \times b$ alors que $ b \ne 0$ d'où $a$ n'est pas simplifiable (ie n'est pas régulier à gauche)
Réciproquement, Supposons que a n'est pas diviseur de zéro donc pour tout $b \in A^{*}$ on a $ab \ne 0$.
Soient $x,y \in A$ telles que $ax=ay$ on a donc $a(x-y)=0$ d'où $(x-y)=0$ puis $x=y$

J'ai l'impression que cette preuve est lourde et n'est pas du tout élégante, y a-t-il d'autres moyens pour la rédiger ?

Deuxième question :
Si je définit un diviseur de zéro comme un diviseur à droite et à gauche de zéro et un élément régulier s'il est régulier à droite et régulier à gauche. Je peux dire tout court qu'un élément est régulier si et seulement si il n'est pas diviseur de zéro (1).
Cependant, mon prof définit la notion d'élément régulier comme moi, mais la notion de diviseur de zéro d la façon suivante : un diviseur de zéro comme un diviseur à droite ou à diviseur gauche de zéro. Dans ce cas l'équivalence (1) reste-t-il encore vraie ?

Troisième question :
1ere et 2eme questions avec inversible à droite, inversible à gauche ?

Merci.