réguliers, inversibles, diviseurs de zéros
dans Algèbre
Première question :
Soit $A$ un anneau unitaire
Étant donné les définitions suivantes :
$a$ est dit diviseur de zéro à droite s'il existe $b \in A^{*} $ (edit : ie $b$ non nul) tel que $ b \times a=0$
$a$ est dit régulier à gauche si pour $a,x,y \in A$ on a $ (ax=ay)$ implique $x=y$
Je sais qu'un diviseur de zéro à gauche (respec, à droite) ne peut pas être régulier à gauche( respec. à droite) preuve ci-dessous, mais peut-il l'être à gauche ?
preuve : supposons que $a$ est diviseur de zéro à gauche, il existe, donc, $b \in A^{*}$ tel que $ab=0$, on a alors $0=a \times 0 = a \times b$ alors que $ b \ne 0$ d'où $a$ n'est pas simplifiable (ie n'est pas régulier à gauche)
Réciproquement, Supposons que a n'est pas diviseur de zéro donc pour tout $b \in A^{*}$ on a $ab \ne 0$.
Soient $x,y \in A$ telles que $ax=ay$ on a donc $a(x-y)=0$ d'où $(x-y)=0$ puis $x=y$
J'ai l'impression que cette preuve est lourde et n'est pas du tout élégante, y a-t-il d'autres moyens pour la rédiger ?
Deuxième question :
Si je définit un diviseur de zéro comme un diviseur à droite et à gauche de zéro et un élément régulier s'il est régulier à droite et régulier à gauche. Je peux dire tout court qu'un élément est régulier si et seulement si il n'est pas diviseur de zéro (1).
Cependant, mon prof définit la notion d'élément régulier comme moi, mais la notion de diviseur de zéro d la façon suivante : un diviseur de zéro comme un diviseur à droite ou à diviseur gauche de zéro. Dans ce cas l'équivalence (1) reste-t-il encore vraie ?
Troisième question :
1ere et 2eme questions avec inversible à droite, inversible à gauche ?
Merci.
Soit $A$ un anneau unitaire
Étant donné les définitions suivantes :
$a$ est dit diviseur de zéro à droite s'il existe $b \in A^{*} $ (edit : ie $b$ non nul) tel que $ b \times a=0$
$a$ est dit régulier à gauche si pour $a,x,y \in A$ on a $ (ax=ay)$ implique $x=y$
Je sais qu'un diviseur de zéro à gauche (respec, à droite) ne peut pas être régulier à gauche( respec. à droite) preuve ci-dessous, mais peut-il l'être à gauche ?
preuve : supposons que $a$ est diviseur de zéro à gauche, il existe, donc, $b \in A^{*}$ tel que $ab=0$, on a alors $0=a \times 0 = a \times b$ alors que $ b \ne 0$ d'où $a$ n'est pas simplifiable (ie n'est pas régulier à gauche)
Réciproquement, Supposons que a n'est pas diviseur de zéro donc pour tout $b \in A^{*}$ on a $ab \ne 0$.
Soient $x,y \in A$ telles que $ax=ay$ on a donc $a(x-y)=0$ d'où $(x-y)=0$ puis $x=y$
J'ai l'impression que cette preuve est lourde et n'est pas du tout élégante, y a-t-il d'autres moyens pour la rédiger ?
Deuxième question :
Si je définit un diviseur de zéro comme un diviseur à droite et à gauche de zéro et un élément régulier s'il est régulier à droite et régulier à gauche. Je peux dire tout court qu'un élément est régulier si et seulement si il n'est pas diviseur de zéro (1).
Cependant, mon prof définit la notion d'élément régulier comme moi, mais la notion de diviseur de zéro d la façon suivante : un diviseur de zéro comme un diviseur à droite ou à diviseur gauche de zéro. Dans ce cas l'équivalence (1) reste-t-il encore vraie ?
Troisième question :
1ere et 2eme questions avec inversible à droite, inversible à gauche ?
Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
je reste assez perplexe quant à la définition du 'diseur' de zéro à droite, je verrai plutôt in(ver)sible.
je laisse aux spécialistes le soin de répondre concernant les deux questions posées.
Jean-éric.
Première Question: Il y a une erreur dans ta définition du diviseur de zéro , b est dans l'anneau A et pas forcement un élément inversible dans A (Si on ne définit qu'avec les éléments inversibles , on aurait a=0 , ça n'a pas d'intérêt).
Je ne comprends pas ce que tu essaie de prouver , ni ta preuve : tu pars d'un élément diviseur de zéro à gauche pour trouver qu'il est régulier à gauche, bizarre
Deuxième question: C'est ton prof qui a raison: un élément n'est pas un diviseur de zéro si il n'est pas diviseur de zéro à droite "et" il n'est pas diviseur de zéro à gauche donc il est diviseur de zéro s'il est diviseur de zéro à droite ou diviseur de zéro à gauche.
Cordialement,
CH
$a$ l'endomorphisme de multiplication par $X$.
Je te laisse explorer.
J'ai d'abord montré le sens directe par contraposée en supposant qu'il est diviseur de zéro à gauche et j'ai montré qu'il n'est pas régulier à gauche. Puis, le sens réciproque en supposant qu'il n'est pas un diviseur de zéro et j'ai montré qu'il est régulier.
2/ J'ai trouvé déjà les deux définitions différentes dans deux cours différents : Bernard Gostiaux- Algèbre 1 et le cours de mon prof
Pour ce qui est de ta preuve, ce n'est toujours pas clair , tu écris dans ton message d'origine:
"Je sais qu'un diviseur de zéro à droite ne peut pas être régulier à droite preuve ci-dessous" C'était la phrase qui prêtait à confusion puisqu'après tu utilisais les notions à gauche
2/ Je pense qu'on est d'accord que les deux définitions ne sont pas les mêmes et elles ne peuvent coexister , je maintiens pour la raison que j'ai citée plus haut que c'est ton prof qui a raison
Cordialement,
CH
2/ J'avoue que votre définition me semble plus logique.
2/ Je regarderai (si j'ai le temps) le Gostiaux pour voir cette histoire .
3/ Si tu réponds à 1/ et 2/ , tu pourras la déduire
Je te conseille de traiter l'exemple de GaBuZoMeu ça t'éclaircira les idées
Bonne soirée!
Pour l'exemple, je me coinçe un peu car on n'a pas encore bien abordé les polynômes, je vous serais reconnaissante, si vous pouviez me guider encore un peu.
Edit: NON, j'ai écris une grande bêtise, régulier = régulier à droite et à gauche donc, un diviseur de zéro ne peut jamais être régulier, au plus il est régulier d'un seul coté (même coté de diviseur de zéro)
Pour l'exemple, essaie, par exemple , de trouver un élément b de A tel que aob=0 . (Je dis ça sans être certaine, faudrait que je regarde en détail pour voir où il voulait te guider)
Pour moi $a \circ b= 0$ signifie $b=0$ car a est linéaire. Selon ça, $a$ n'est pas donc un diviseur à gauche de zéro, Il est régulier à gauche car pour deux endomorphismes $b$ et $c$ tels que $a \circ b = a \circ c$. Soit un polynôme $P$, on a $a(b(P))=a(c(P))$ donc, comme $a$ est un endomorphisme d'espace vectoriel, $ a(b(P)-c(P)) = 0$ d'où $b(P)=c(P)$ , ceci étant valable pour tout polynôme P donc $b=c$
Remarque : a n'est pas diviseur à gauche, il peut l'être à droite donc il peut être diviseur de zéro et donc non régulier.
Vérifions que $a$ il n'est pas régulier à droite : prenons deux endomorphismes $b$ et $c$ tels que $b \circ a = c \circ a$. Soit un polynôme $P$, on a $b(a(P))=c(a(P))$ .
Question : a-t-on nécessairement $b = c$ ?
Réponse : peut être non, je cherche contre-exemple.
PS : j'ai l’impression que j'ai fait une erreur de raisonnement, mais même avec les erreurs j'apprends, donc tant mieux.
Alors ?
Si je prends $b$ qui associe à chaque polynôme l'évaluation en une racine, ça marche ?
Edit : j'ai constaté ma faute, la loi est $\circ$ et non pas la multiplication usuelle donc $b : P \to P(0)$ et $ a :P \to X \times P)$
$b \circ a (P) = b(a(P))= b(X \times P) = 0 \times P(0)=0$ d'où on a bien $b \circ a = 0 $alors que $b$ et l'endomorphisme non nul, d'où $a$ est diviseur de zéro à droite mais aussi régulier à gauche.
Merci beaucoup à tous ceux qui sont passés et exceptionnellement à GaBuZoMeu :-)
Tu remarqueras que ce qui fait marcher le truc, c'est qu'on est en dimension infinie et qu'on a un endomorphisme qui est injectif mais pas surjectif. Pour changer de côté, tu peux fabriquer un endomorphisme qui est surjectif mais pas injectif (sur l'espace vectoriel des polynômes, il y en a un facile à décrire).