Composée d'applications

Steph_ntic · October 2017

Bonsoir et désolé pour le dérangement... Je bloque sur un exercice d'algèbre.

Soient $E, F, G$ [des ensembles et $f,g,h$] trois applications [telles que] $$
\xymatrix{ E\ar[rr]^{f} & & F \ar[dl]^{g}\\&G\ar[lu]^{h}}
$$Établir que si $h\circ g\circ f$ est injective et que $g\circ f\circ h$ et $f\circ h\circ g$ sont surjectives alors $f, g , h$ sont [toutes trois] bijectives.

J'arrive à faire pour deux applications mais je bloque pour trois applications.
Merci d'avance.

Poirot · October 2017

Tu peux commencer par montrer que $f$ est bijective, et pour ça, tu peux montrer grâce aux hypothèses qu'elle est injective et surjective. Bon travail !

Steph_ntic · October 2017

Merci poirot c'est gentille ^^

nicolas.patrois · October 2017

C'est une conséquence d'un exercice lemme de celui-ci :
Si $f \circ g$ est injective alors f est injective.
Si $f \circ g$ est surjective alors g est surjective.

lapincretin · October 2017

Ne serais-ce pas plutôt
$f \circ g$ injective implique $g$ injective

gerard0 · October 2017

Oui, et de même, c'est f qui est surjective.
pas toujours facile de se souvenir de l'ordre, mais comme pour $f\circ g$ surjective de E dans G, tout élément de G est un f(g(x)), c'est un f(y).

Je soupçonne que Nicolas s'est fait plutôt piéger par l'inversion de l'ordre : Dans le schéma de Stef_ntic, c'est $g\circ f$, pas $f\circ g$ qui intervient.

Cordialement.

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