Formule Euler

Sophie.smiit
Sophie.smiit
dans Algèbre
Bonjour,

Pouvez vous m'expliquer comment passe-t-on de (1/8)( e^3ix + e^-3ix +3e^-ix +3e^ix) à
(1/8)(2cos(3x)+3*2cos(x) ) ?

Parce que moi quand j'applique la formule d'Euler j'obtiens (1/4) (cos3x + (3/2)

Merci d'avance

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    C'est très différent ?

    Edit : Ah oui, c'est différent : le 3/2 est faux, tu as dû lire $\exp(0)+\exp(-0)$ au lieu de $\exp(ix)+\exp(-ix)$.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Ben, ta formule te donne directement $e^{ix}+e^{-ix}=2\cos(x)$ et donc $e^{3ix}+e^{-3ix}=2\cos(3x)$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Sophie.smiit
    Sophie.smiit
    D'accord je vois merci.

    Et ducoup quand est ce qu'on a la somme de deux exponentiels = 1 ?
  • gerard0
    gerard0
    Jamais.

    Mais $e^0=1$ et donc dans certains calculs, apparaissent des constantes (*). Mais dans tous les cas, il faut faire le calcul, pas inventer un résultat.

    Cordialement.

    (*) linéarisation de $\cos^4 x$ par exemple.
  • Sophie.smiit
    Sophie.smiit
    Ah d'accord merci (tu)
  • Sophie.smiit
    Sophie.smiit
    J'ai une autre question..

    quand on a : (( (V3) -i) /2 )^1995 ( V = racine carré)

    On écrit le complexe sous la forme (e^ipi/6 )^1995 = e^i (1995pi)/6

    Mais comment simplifier cette écriture ?
    Dans le corrigé on a utilisé une division euclidienne mais je n'ai pas compris comment et pourquoi on l'avait utilisé

    Pouvez vous m'expliquer ?

    Merci
  • Poirot
    Poirot
    @gerard0 : euh $\exp(- \log(2)) + \exp(- \log(2))=1$. Je sais que tu répondais dans le cas du cosinus, mais il faudrait éviter de faire croire des choses fausses à Sophie.smiit !
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour

    > quand est ce qu'on a la somme de deux exponentiels = 1 ?

    On a $e^{i\tfrac{\pi}{3}}+e^{-i\tfrac{\pi}{3}}=1$ par exemple.

    Cordialement,
    Rescassol
  • Poirot
    Poirot
    @Sophie.smiit : il suffit de savoir que $\exp(2i \pi)$. Ensuite quand tu es face à quelque chose de la forme $\exp(i\pi q)$ avec $q$ un rationnel, tu peux "sortir" $2$ autant de fois que tu veux de $q$. En pratique c'est avec la division euclidienne de la partie entière de $q$ qu'il faut procéder : tu écris $q = k + p$ avec $k$ entier et $p \in [0, 1[$ puis $ k=2s+r$ avec $s$ entier et $r=0$ ou $r=1$. Tu te retrouves avec $\exp(i \pi q) = \exp(i \pi(2s + r + p)) = \exp(i \pi (r+p)$ car $\exp(2i \pi s)=1$.
  • Sophie.smiit
    Sophie.smiit
    D'accord j'ai compris merci :)
  • gerard0
    gerard0
    Effectivement, j'ai été un peu brutal. J'étais sur son type de calcul (linéarisation par les formules d'Euler).

    Cordialement.
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