Groupe orthogonal (démo livre de Perrin)
Je fais référence à un résultat du livre Algèbre de D. Perrin (édition ellipses).
À la quatrième ligne de la démonstration du 1) du théorème 6.1. p.188, l'auteur utilise le fait que $\tau u$ admet deux valeurs propres. C'est certainement vrai et sans doute immédiat mais à ce stade de l'exposé, je ne vois pas d'où ça vient...
Quelqu'un peut-il me dépanner ?
Merci :-).
À la quatrième ligne de la démonstration du 1) du théorème 6.1. p.188, l'auteur utilise le fait que $\tau u$ admet deux valeurs propres. C'est certainement vrai et sans doute immédiat mais à ce stade de l'exposé, je ne vois pas d'où ça vient...
Quelqu'un peut-il me dépanner ?
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Réponses
Mais en quoi est-ce évident (à ce stade de l'exposé) qu'une isométrie positive du plan a deux valeurs propres dans le cas général d'une forme quadratique non-dégénérée sur un corps quelconque de caractéristique différente de $2$ ?
Est-ce qu 'on peut calquer la démonstration du cas réel suivante : le polynôme caractéristique est de degré 2 (est-ce évident ? je n' ai pas encore retravaillé ce sujet, je n'ai que de vagues souvenirs) et admet une racine, donc en admet une seconde (dans le corps considéré) ?
N. B. Si l'automorphisme considéré était une involution, il annulerait un polynôme du 2nd degré, mais ici ?...
Perrin choisit un vecteur non isotrope $x$ et fabrique $\tau$ pour que $\tau u (x)=\pm x$, autrement dit $x$ est un vecteur propre de $\tau u$ de valeur propre $\pm1$.
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée $M$ de taille $n$ (définition $\det(XI_n-M)$) est toujours, quel que soit le corps de base, un polynôme unitaire de degré $n$.
Si $P\in K[X]$ est un polynôme unitaire de degré $2$ qui a une racine $a\in K$, alors $P$ factorise en $P=(X-a)Q$ sur $K$, et $Q$ est unitaire de degré $1$ sur $K$, donc de la forme $Q=X-b$.
Et oui, finalement c'est évident pour le polynôme caractéristique. Comme je l'ai écrit, la réduction des endomorphismes sera mon dernier sujet d'algèbre à traiter dans mon programme de révision-apprentissage. C'est pour bientôt.
Pour la fin, j'avais fait ce raisonnement aussi pour conclure à l'existence de la deuxième valeur propre.
Merci à Poirot et GaBuZoMeu pour leur aide.