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Groupe orthogonal (démo livre de Perrin)

Envoyé par curiosity 
Groupe orthogonal (démo livre de Perrin)
l’an passé
Je fais référence à un résultat du livre Algèbre de D. Perrin (édition ellipses).

À la quatrième ligne de la démonstration du 1) du théorème 6.1. p.188, l'auteur utilise le fait que $\tau u$ admet deux valeurs propres. C'est certainement vrai et sans doute immédiat mais à ce stade de l'exposé, je ne vois pas d'où ça vient...
Quelqu'un peut-il me dépanner ?

Merci smiling smiley.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Groupe orthog (question démo livre de Perrin)
l’an passé
Elle en admet $2$ dans $\mathbb C$, et comme on a la première, et que le déterminant vaut $1$, on connaît la seconde.
Re: Groupe orthog (question démo livre de Perrin)
l’an passé
Ici, il s'agit du groupe orthogonal général, le corps est quelconque. Le cas euclidien est traité deux chapitres avant.
Re: Groupe orthog (question démo livre de Perrin)
l’an passé
Le déterminant d'un élément du groupe orthogonal de n'importe quelle forme quadratique non dégénérée sur un corps de caractéristique $\neq 2$ est toujours $\pm1$. Et comme on est dans $O^+$ ...
Re: Groupe orthog (question démo livre de Perrin)
l’an passé
Oui, il vaut $+1$, j'ai bien vu tout cela, j'ai même regardé comment on faisait dans le cas euclidien où l'on montre directement que $u$ est une réflexion en considérant son polynôme caractéristique. Et ici ce n'est plus possible car on ne sait rien sur le corps, d'où la technique consistant à passer par $\tau u$ j'imagine afin de montrer que c'est une homothétie.

Mais en quoi est-ce évident (à ce stade de l'exposé) qu'une isométrie positive du plan a deux valeurs propres dans le cas général d'une forme quadratique non-dégénérée sur un corps quelconque de caractéristique différente de $2$ ?
Re: Groupe orthogonal (démo livre de Perrin)
l’an passé
Un corps quelconque a une clôture algébrique, donc deux valeurs propres dans celle-ci.
Re: Groupe orthogonal (démo livre de Perrin)
l’an passé
Oui mais ici on ne passe visiblement pas par la clôture algébrique, non ?

Est-ce qu 'on peut calquer la démonstration du cas réel suivante : le polynôme caractéristique est de degré 2 (est-ce évident ? je n' ai pas encore retravaillé ce sujet, je n'ai que de vagues souvenirs) et admet une racine, donc en admet une seconde (dans le corps considéré) ?

N. B. Si l'automorphisme considéré était une involution, il annulerait un polynôme du 2nd degré, mais ici ?...
Re: Groupe orthogonal (démo livre de Perrin)
l’an passé
M'enfin, curiosity ?
Perrin choisit un vecteur non isotrope $x$ et fabrique $\tau$ pour que $\tau u (x)=\pm x$, autrement dit $x$ est un vecteur propre de $\tau u$ de valeur propre $\pm1$.
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée $M$ de taille $n$ (définition $\det(XI_n-M)$) est toujours, quel que soit le corps de base, un polynôme unitaire de degré $n$.
Si $P\in K[X]$ est un polynôme unitaire de degré $2$ qui a une racine $a\in K$, alors $P$ factorise en $P=(X-a)Q$ sur $K$, et $Q$ est unitaire de degré $1$ sur $K$, donc de la forme $Q=X-b$.
Re: Groupe orthogonal (démo livre de Perrin)
l’an passé
Ok, donc la fulgurance qui m'a frappée ce matin au réveil était bonne, modulo la question triviale sur le polynôme caractéristique (on devrait pouvoir rendre ses copies d'examen ou de concours le lendemain, après une bonne nuit de sommeil winking smiley).

Et oui, finalement c'est évident pour le polynôme caractéristique. Comme je l'ai écrit, la réduction des endomorphismes sera mon dernier sujet d'algèbre à traiter dans mon programme de révision-apprentissage. C'est pour bientôt.

Pour la fin, j'avais fait ce raisonnement aussi pour conclure à l'existence de la deuxième valeur propre.

Merci à Poirot et GaBuZoMeu pour leur aide.
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