Groupe orthogonal (démo livre de Perrin)

Ici, il s'agit du groupe orthogonal général, le corps est quelconque. Le cas euclidien est traité deux chapitres avant.

Oui, il vaut $+1$, j'ai bien vu tout cela, j'ai même regardé comment on faisait dans le cas euclidien où l'on montre directement que $u$ est une réflexion en considérant son polynôme caractéristique. Et ici ce n'est plus possible car on ne sait rien sur le corps, d'où la technique consistant à passer par $\tau u$ j'imagine afin de montrer que c'est une homothétie.

Mais en quoi est-ce évident (à ce stade de l'exposé) qu'une isométrie positive du plan a deux valeurs propres dans le cas général d'une forme quadratique non-dégénérée sur un corps quelconque de caractéristique différente de $2$ ?

Oui mais ici on ne passe visiblement pas par la clôture algébrique, non ?

Est-ce qu 'on peut calquer la démonstration du cas réel suivante : le polynôme caractéristique est de degré 2 (est-ce évident ? je n' ai pas encore retravaillé ce sujet, je n'ai que de vagues souvenirs) et admet une racine, donc en admet une seconde (dans le corps considéré) ?

N. B. Si l'automorphisme considéré était une involution, il annulerait un polynôme du 2nd degré, mais ici ?...

Ok, donc la fulgurance qui m'a frappée ce matin au réveil était bonne, modulo la question triviale sur le polynôme caractéristique (on devrait pouvoir rendre ses copies d'examen ou de concours le lendemain, après une bonne nuit de sommeil ;-)).

Et oui, finalement c'est évident pour le polynôme caractéristique. Comme je l'ai écrit, la réduction des endomorphismes sera mon dernier sujet d'algèbre à traiter dans mon programme de révision-apprentissage. C'est pour bientôt.

Pour la fin, j'avais fait ce raisonnement aussi pour conclure à l'existence de la deuxième valeur propre.

Merci à Poirot et GaBuZoMeu pour leur aide.