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Division euclidienne, preuve non constructive

Envoyé par sebsheep 
Division euclidienne, preuve non constructive
l’an passé
Bonjour,

Il me semble me rappeler (mais peut-être que je fantasme) avoir vu une preuve un jour de la division euclidienne dans $\K[X]$ qui est non constructive (mais qui m'avait semblé plus élégante que la seule que je trouve sur le oueb, à savoir expliciter l'algorithme de calcul). Si mes souvenirs sont bons ça ressemblait à ça:

Soient $P, B$ des polynômes de $\K[X]$. Considérons $E=\{P-BQ; Q\in\K[X]\}$ et $R\in E$ de degré minimal.

Supposons par l'absurde que $\deg(R) \ge \deg(B)$....
C'est là où je bloque ... Il faudrait construire un élément de $E$ de degré inférieur à $R$, mais je ne vois pas comment faire.

Des idées (juste une piste, je veux avoir le plaisir de trouver !) ?

PS : pour l'unicité, no soucy, c'est juste l'existence que me pose problème.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par jacquot.
Re: Division euclidienne, preuve non constructive
l’an passé
C'est facile, il suffit de copier l'algorithme de division dont le ressort est de faire baisser tant qu'on peut le degré de ce qui reste.
Re: Division euclidienne, preuve non constructive
l’an passé
Bonjour !
Soit $q+1=\deg B,\;m\in\N$.
L'application $\Phi : \K_m[X]\times\K_q[X]\to\K_{m+q+1}[X]$ telle que $\Phi(Q,R)=BQ+R$ est linéaire, injective.
Les espaces départ,arrivée ont même dimension $m+1+q+1$ donc $\Phi$ surjective...
Re: Division euclidienne, preuve non constructive
l’an passé
Merci pour vos réponses.

J'ai peut-être été un peu naïf sur le coup ; je voulais ni utiliser un étape de la division euclidienne ni faire d'algèbre linéaire... Genre le mec qui veut le beurre et l'argent du beurre (sans parler de la crémière).
Re: Division euclidienne, preuve non constructive
l’an passé
@sebsheep : tu parles du $Q \in Cremière[X]$ ? grinning smiley
Re: Division euclidienne, preuve non constructive
l’an passé
La Crémière du X ? Celle de Polytechnique ?
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