Division euclidienne, preuve non constructive

sebsheep · October 2017

Bonjour,

Il me semble me rappeler (mais peut-être que je fantasme) avoir vu une preuve un jour de la division euclidienne dans $\K[X]$ qui est non constructive (mais qui m'avait semblé plus élégante que la seule que je trouve sur le oueb, à savoir expliciter l'algorithme de calcul). Si mes souvenirs sont bons ça ressemblait à ça:

Soient $P, B$ des polynômes de $\K[X]$. Considérons $E=\{P-BQ; Q\in\K[X]\}$ et $R\in E$ de degré minimal.

Supposons par l'absurde que $\deg(R) \ge \deg(B)$....
C'est là où je bloque ... Il faudrait construire un élément de $E$ de degré inférieur à $R$, mais je ne vois pas comment faire.

Des idées (juste une piste, je veux avoir le plaisir de trouver !) ?

PS : pour l'unicité, no soucy, c'est juste l'existence que me pose problème.

GaBuZoMeu · October 2017

C'est facile, il suffit de copier l'algorithme de division dont le ressort est de faire baisser tant qu'on peut le degré de ce qui reste.

rakam · October 2017

Bonjour !
Soit $q+1=\deg B,\;m\in\N$.
L'application $\Phi : \K_m[X]\times\K_q[X]\to\K_{m+q+1}[X]$ telle que $\Phi(Q,R)=BQ+R$ est linéaire, injective.
Les espaces départ,arrivée ont même dimension $m+1+q+1$ donc $\Phi$ surjective...

sebsheep · October 2017

Merci pour vos réponses.

J'ai peut-être été un peu naïf sur le coup ; je voulais ni utiliser un étape de la division euclidienne ni faire d'algèbre linéaire... Genre le mec qui veut le beurre et l'argent du beurre (sans parler de la crémière).