Quotient $\mathbb{H}/\Gamma^N$

reuns · October 2017

Bonjour, j'aimerais comprendre un sous-groupe $\Gamma^N$ de $SL_2(\mathbb{Z})$ généré par $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ -2N &1 \end{pmatrix}$. Il y a-t-il un moyen d'expliciter ses éléments, avec des congruences ? La surface de Riemann $\mathbb{H}^*/\Gamma^N$ est-elle compacte et à quoi ressemble un domaine fondamental ? [small]($\mathbb{H}^* = \{ z \in \mathbb{C}, \Im(z) > 0\} \cup \mathbb{Q} \cup \{i \infty\}$ sur lequel les éléments de $\Gamma^N$ agissent comme transformations de Möbius)[/small]

[small]L'idée c'est que l'hypothèse de Riemann est encodée dans les propriétés de $f_k(z) = \sum_{n=1}^\infty e^{i \pi n^2 z} 1_{(n,k!)=1}$ dont la transformée de Mellin est $\int_0^\infty x^{s/2-1} f_k(ix)dx = \Lambda_k(s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)\prod_{p \le k} (1-p^{-s})$. Avec $\Lambda_1(s) = \Lambda_1(1-s)$ (l'équation fonctionnelle de $\zeta(s)$) et $N_k = \prod_{p \le k} p$ on trouve que $N_k^{-s} \Lambda_k(1-s) =\Lambda_1(1-s)N_k^{-s} \prod_{p \le k} (1-p^{s-1})=\pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)\prod_{p \le k} (p^{-s}-p^{-1})$ où $\zeta(s)\prod_{p \le k} (p^{-s}-p^{-1})$ est une série de Dirichlet donc $g_k(z) = z^{-1/2} f_k(-1/z)$ est $2N_k$-périodique, ce qui donne $f_k(z) = z^{-1/2} g_k(-1/z)= z^{-1/2}g_k(2N_k-1/z) = z^{-1/2} (2N_k-1/z)^{-1/2} f(\frac{-1}{2N_k-1/z})= (2N_k z-1)^{-1/2}f_k(\frac{z}{1-2N_kz})$ et donc $f_k$ est modulaire de poids $1/2$ pour $\Gamma^{N_k}$.[/small]

Et qu'en est-il de l'intersection de $\Gamma^N$ avec d'autres groupes, en particulier si $h$ est une forme modulaire disons pour $SL_2(\mathbb{Z})$ alors $f_k(z) h(z)$ est-elle modulaire pour un certain groupe ?

Shah d'Ock · October 2017

Un groupe de première espèce est cocompact si est seulement s'il ne contient pas d'élément parabolique. Or là, si je ne m'abuse, tous tes éléments sont elliptiques car de trace 1.
Edit: 1+1=1 oui oui oui... ben du coup tes générateurs sont paraboliques donc...

claude quitté · October 2017

$\def\PGamma{\text{P}\Gamma}$
@reuns
Ci-dessous, je travaille au niveau $\text{PSL}_2(\Z)$ et pas $\text{SL}_2(\Z)$ si bien que je préfixe mes noms par P pour éviter le pata-caisse bien connu entre les auteurs en ce qui concerne $\Gamma(N)$.

Ton groupe $\Gamma^N$ est contenu dans $\PGamma(2)$. Surveille moi à ce propos. Et ce dernier groupe est libre, engendré par 2 générateurs:
$$
S_0 = \pm \pmatrix {-1 & 0\cr 2 & -1}, \qquad
S_1 = \pm \pmatrix {-1 & 2\cr- 2 & 3}, \qquad
S_\infty = \pm \pmatrix {1 & 2\cr 0 & 1}, \qquad S_0S_1S_\infty = 1
$$
Et de ce fait, ton groupe $\Gamma^N$ est libre. Si l'indice de $\Gamma^N$ dans $\PGamma(2)$ était fini $m$, alors (par théorème), $\Gamma^N$ serait libre à $m+1$ générateurs. Bilan : sauf cas très particulier, $\Gamma^N$ est libre avec une infinité de générateurs et non d'indice fini dans $\PGamma(2)$.

POUF-POUF . N'importe quoi. Je corrige : $\Gamma^N$ est libre en ses deux générateurs et non d'indice fini dans $\PGamma(2)$.

Fort possible que cela ne fasse pas avancer le schmilblick.

Autre chose. Des références vaguement en rapport : Free subgroups and Normal Subgroups of the Modular Group, Morris Newman, 1962 (je n'ai pas le nom de la revue). Mais le pointeur https://www.projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1256059670

Et ``Identifying congruence subgroups of the modular group'', Tim Hsu in http://wstein.org/edu/Fall2003/252/lectures/09-19-03/Hsu-Identifying_congruence_subgroups_of_the_modular_group.pdf

reuns · October 2017

Merci beaucoup, à première vue c'est un sujet loin d'être évident.

Voici la motivation : si on prend une fonction L de Dirichlet $L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \chi(n)n^{-s}= \prod_p \frac{1}{1-\chi(p) p^{-s}}$ où $\chi$ est un caractère de Dirichlet non-trivial (donc $L(s,\chi)$ n'est pas $\zeta(s)$ et n'a pas de pôle en $s=1$) alors RH pour $L(s,\chi)$ est équivalent à $\prod_p \frac{1}{1-\chi(p) p^{-s}}$ converge et est analytique pour $\Re(s) >1/2$, ie. pour $\Re(s) > 1/2$ : $\lim_{k \to \infty} L(s,\chi 1_{(n,k!)=1}) = \lim_{k \to \infty} L(s,\chi) \prod_{p\le k} (1-\chi(p)p^{-s}) = 1$.

Du côté forme modulaire, si $\chi(-1) = 1$ alors $f(x,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \chi(n) e^{- \pi n^2 x}$ est une forme modulaire de poids $1/2$ (pour $\Gamma_0(N^2)$ si $\chi$ est primitif) et RH pour $L(s,\chi)$ est équivalent à $f(x,\chi 1_{(n,k!)=1}) = \sum_{n=1}^\infty \chi(n) 1_{(n,k!)=1} e^{- \pi n^2 x} \to e^{- \pi x}$ converge uniformément sur $x \in (0,1)$ quand $k \to \infty$.

Ce qui est magique c'est que les mêmes critères fonctionnent pour les combinaisons linéaires $\sum_{j=1}^m c_j \chi_j$ de caractères de Dirichlet (ie. pour les formes modulaires de poids $1/2$, les séries de Dirichlet avec équation fonctionnelle et prolongement analytique). Leurs hypothèses de Riemann c'est que $\sum_{j=1}^m c_j \frac{1}{L(s,\chi_j)}$ est analytique pour $\Re(s) > 1/2$.

Enfin on écrit $f(x,\chi 1_{(n,k!)=1}) = \int_0^1 f(x-2iy,\chi) f(2iy, 1_{(n,k!)=1}) dy$ et on trouve que GRH pour toutes les fonctions L de Dirichlet est encodée dans $f(x, 1_{(n,k!)=1})$ lorsque $k \to\infty$.

Quotient $\mathbb{H}/\Gamma^N$

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