Réductibilité
dans Algèbre
Bonjour,
je dois montrer que $X^4-10X^2+1$ est réductible dans $F_q[X]$. J'ai comme indication de commencer par supposer que $2$ est un carré modulo $q$, puis que $3$ est un carré modulo $q$, puis de supposer que ni $2$ ni $3$ ne sont des carrés modulo $q$.
Comment partir? J'ai voulu faire une indentification des facteurs en supposant que mon polynôme est produit de deux polynômes de degré $3$ et $1$ ou $2$ et $2$ mais je ne suis guère avancé
Merci
je dois montrer que $X^4-10X^2+1$ est réductible dans $F_q[X]$. J'ai comme indication de commencer par supposer que $2$ est un carré modulo $q$, puis que $3$ est un carré modulo $q$, puis de supposer que ni $2$ ni $3$ ne sont des carrés modulo $q$.
Comment partir? J'ai voulu faire une indentification des facteurs en supposant que mon polynôme est produit de deux polynômes de degré $3$ et $1$ ou $2$ et $2$ mais je ne suis guère avancé
Merci
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Réponses
Il doit y avoir une coquille car $X^4 - 10X + 1$ est irréductible sur $\mathbb F_{17}$ et sur $\mathbb F_{19}$ par exemple. Je pense qu'il s'agit de $X^4 - 10X^2 + 1$. Je vais essayer de te donner quelques pistes mais peut-être que je vais trop en dire. Pas si facile parfois de guider. D'abord, tu te doutes que l'auteur de l'exercice a un truc et qu'il n'a pas sorti $X^4 - 10 X^2 + 1$ du chapeau du magicien.
Oublie provisoirement les corps finis. Le truc de l'auteur : $x = \sqrt 2 + \sqrt 3$, dans $\C$ si tu veux.
1) Pourrais tu donner un polynôme $F$ à coefficients dans $\Z$ donc $x$ est racine. Indication : chasser les racines carrées.
2) Quelle est la propriété de $\sqrt 2$ que tu as utilisée ? Indication $\sqrt 2$ versus $-\sqrt 2$.
3) Le polynôme $F$ trouvé en 1), pourrais tu le factoriser en 4 facteurs de degré 1 sur $\Z[\sqrt 2, \sqrt 3]$ ?
4) Que se passe-t-il si tu regroupes certains facteurs ?
5) Retour maintenant aux corps finis. Tu devras utiliser des règles du type : carré $\times$ carré = carré, carré $\times$ non-carré = carré .POUF-POUF , je voulais dire carré $\times$ non-carré = non-carré (merci gai-requin) ..etc.. A toi de jouer.
6) Maintenant, en principe, tu dois être capable de fabriquer des polynômes analogues à $X^4 - 10X^2 +1$ pour épater tes ami(e)s. Vois tu comment?
Je crois que c'est plutôt "non-carré x non-carré = carré" dans $\mathbb F_q$.
Je commence à fatiguer, je reprendrai cette preuve demain.
Bonne soirée
J'ai corrigé ma coquille (de manière bien visible). Mais ce que tu as écrit, je voulais justement ne pas l'écrire car c'est là qu'est tout le sel de l'affaire. D'où mon ..etc.. Par ailleurs, peut-être que j'en ai fait un peu trop ?
C'est donc que tu n'as pas fait l'exercice à sa place. :-)
1) C'est le fameux polynôme de départ
2) Tout simplement $\sqrt{2}^2=2$?
3) Je nomme le polynôme de départ $P(X)$ : $P(X)=(X-\sqrt{2}-\sqrt{3})(X-\sqrt{2}+\sqrt{3})(X+\sqrt{2}-\sqrt{3})(X+\sqrt{2}+\sqrt{3})$
4) $(X-\sqrt{2}-\sqrt{3})(X-\sqrt{2}+\sqrt{3})=X^2-2\sqrt{2}X-1$
$(X+\sqrt{2}+\sqrt{3})(X+\sqrt{2}-\sqrt{3})=X^2+2\sqrt{2}X-1$
Pour répondre tout de suite à la 5) dans ce cas là, en supposant $2$ carré modulo $q$, j'ai bien factorisé $P(X)$ dans $F_q$
$(X-\sqrt{2}-\sqrt{3})(X+\sqrt{2}-\sqrt{3})=X^2-2\sqrt{3}X+1$
$(X+\sqrt{2}+\sqrt{3})(X-\sqrt{2}+\sqrt{3})=X^2-2\sqrt{3}X+1$
Toujours pour répondre à la 5, même principe avec $3$
Dans le dernier développement :
$(X-\sqrt{2}-\sqrt{3})(X+\sqrt{2}+\sqrt{3})=X^2-5-2\sqrt{2}\sqrt{3}$
$(X-\sqrt{2}+\sqrt{3})(X+\sqrt{2}-\sqrt{3})=X^2-5+2\sqrt{2}\sqrt{3}$
Si ni $2$ ni $3$ ne sont des carrés modulo $q$, alors $2\times3$ est un carré modulo $q$, en vertu de la question précédente de mon exercice, et donc j'ai bien factorisé le polynôme dans $F_q$
6) Je prend deux racines, et je procède de même pour trouver un polynôme qui annule la somme?
Pourquoi pas, mais l'exercice me demande d'abord de régler son compte à $X^4+1$ ;-)
Vu et ok Mais pour la 6), est ce que tu ne pourrais pas faire ``pour de vrai'' la totale ? Disons avec $\sqrt {a} + \sqrt {b}$, en étant cool sur le statut de $a, b$. Dans l'intention de produire un polynôme $F_{a,b}(X)$ ayant une merveilleuse propriété.
Je me pose des questions sur les indications dont tu disposais. Je ne te cacherai pas que j'ai reconnu $X^4 - 10X^2 + 1$ car on demande souvent à des petits de trouver un polynôme à coefficients entiers dont $\sqrt 2 + \sqrt 3$ est racine. Je veux dire comment procéder à partir de rien (sans le truc $\sqrt 2 + \sqrt 3$) ? Etudier $Y^2 - 10 Y + 1$ ?
Pour l'exercice je joint une photo :
$$
x^2 = a +b + 2\sqrt a\sqrt b, \quad (x^2 - (a+b))^2 = 4ab, \quad x^4 - 2(a+b)x^2 + (a+b)^2 - 4ab = 0 \quad\hbox {i.e.}\quad x^4 - 2(a+b)x^2 + (a-b)^2 = 0
$$
Chute : pour tous $a,b \in \Z$, le polynôme $F_{a,b}(X) = X^4 - 2(a+b)X^2 + (a-b)^2$ est réductible sur n'importe quel corps fini.
Tiens, je suis bien content d'avoir mis cet exemple dans une famille, merci pour ce fil !
Ah, tu es très famille ? $G_{c,d}(X) = X^4 + cX^2 + d^2$veut bien intégrer ton $X^4 + 1$.