Matrice définie positive

Tu es sûr que ce n'est pas $\lambda^n$ avec $n$ la taille de la matrice ?

Peut-être en commençant par orthonormaliser une base ?

Ok, je me lance. Sous l'égide bienveillante de Schmidt, on peut construire une base $(u_1,\ldots, u_n)$ de vecteurs-colonne qui soit orthogonale vis-à-vis de $A$ et formée de vecteurs de norme euclidienne inférieure égale à $1$. La matrice $P$ dont les $u_i$ sont les colonnes vérifie donc $P^* A P = \text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, avec $\lambda_i = {}^t u_i A u_i \geq \lambda$, et de plus $\det(P)\leq 1$ grâce à l'inégalité de Hadamard. Et normalement là c'est bon.

Je ne suis pas sûr qu'invoquer l'inégalité de Hadamard ne fasse pas un peu double emploi avec l'orthogonalisation, mais ce n'est pas trop mon domaine !

La forme quadratique associée n'a pas besoin d'être symétrique pour exister ni pour être définie positive.

Ah, bonne objection ! Mais je pense que l'argument tient quand même, car en supposant $(u_i)$ "semi-orthogonale", la matrice $P^* A P$ sera triangulaire supérieure, donc son déterminant sera quand même le produit des $\langle u_i, u_i\rangle$.

De grosse bourdes je dis seulement Cordialement


La question serait elle $\det (A)>{\lambda}^n$ tel que définie dans le post initiale? si oui la réponse trivialement juste.

Deuxièmement une matrice réelle définie positive i.e. $x^TAx>0$ pour tout $x$ vecteur réel est nécessairement symétrique.

$P^*AP$ n'est jamais triangulaire sauf si diagonale ($P$ orthogonale).

Edit $A$ est supposée symétrique dans ce poste.

Elle n'est pas Définie positive (c'est un résultat...)

Aussi, les vecteurs propres d'une matrice sym. sont orthogonaux pour le produit scalaire usuel (dim. finie)

Mois je connais le résultat si $A$ matrice complexe définie positive i.e $x^*Ax>0$ pour tout vecteur complexe alors $A$ est hermitienne. La preuve n'est pas du tout longue mais pas triviale.

Pour le cas réel je crois que c'est vrai.

Si $\vert x\vert$ désigne bien, comme je l'imagine, la norme euclidienne d'un vecteur colonne $x$, un indication possible est la suivante. Que peut-on dire de $\mu\in {\mathbb R}$ s'il existe un vecteur non nul $x$ tel que $Ax=\mu x$ ?

Edit : j'ai mal lu l'énoncé... Si $A$ est symétrique, on conclut en regardant effectivement les valeurs propres. Si $A$ est quelconque, il faut observer que l'hypothèse sur $A$ ne porte que sur sa partie symétrique. Il faut donc comparer ${\rm det}(S)$ et ${\rm det}(S+A)$, pour $S$ symétrique définie positive et $A$ antisymétrique, pour conclure (à un contre exemple ou une démonstration).

@Tonm : pour ton résultat sur le "caractère hermitien automatique", il me semble qu'il suffit même que $x^* A\,x\in\mathbb{R}$ pour tout $x$ (sans condition de signe) pour que $A$ soit hermitienne. Je me trompe ?