Matrice inversible dans un corps

Bonjour,
Je travaille sur la preuve du théorème de Brauer qui dit que deux permutations de $S_{n}$ sont conjuguées si et seulement si leurs matrices de permutations sont conjugués dans $GL_{n}(K)$, où $K$ est un corps.
Pour montrer la réciproque, on obtient une matrice $B=(pgcd(i,j))_{i =1...n, j=1..n}$ et il reste à prouver son inversibilité. Pour cela, on montre que le déterminant de $B$ est $\phi(1)...\phi(n)$ où $\phi$ désigne l'indicatrice d'Euler (déterminant de Smith). Si $K$ est de caractéristique nulle, je suis d'accord que $B$ est inversible puisque son déterminant est non nul. Mais je ne vois pas comment conclure si la caractéristique de $K$ est non nulle.
Si vous avez des idées, j'aimerais bien comprendre ce dernier point. Merci d'avance.