Matrice inversible dans un corps
Bonjour,
Je travaille sur la preuve du théorème de Brauer qui dit que deux permutations de $S_{n}$ sont conjuguées si et seulement si leurs matrices de permutations sont conjugués dans $GL_{n}(K)$, où $K$ est un corps.
Pour montrer la réciproque, on obtient une matrice $B=(pgcd(i,j))_{i =1...n, j=1..n}$ et il reste à prouver son inversibilité. Pour cela, on montre que le déterminant de $B$ est $\phi(1)...\phi(n)$ où $\phi$ désigne l'indicatrice d'Euler (déterminant de Smith). Si $K$ est de caractéristique nulle, je suis d'accord que $B$ est inversible puisque son déterminant est non nul. Mais je ne vois pas comment conclure si la caractéristique de $K$ est non nulle.
Si vous avez des idées, j'aimerais bien comprendre ce dernier point. Merci d'avance.
Je travaille sur la preuve du théorème de Brauer qui dit que deux permutations de $S_{n}$ sont conjuguées si et seulement si leurs matrices de permutations sont conjugués dans $GL_{n}(K)$, où $K$ est un corps.
Pour montrer la réciproque, on obtient une matrice $B=(pgcd(i,j))_{i =1...n, j=1..n}$ et il reste à prouver son inversibilité. Pour cela, on montre que le déterminant de $B$ est $\phi(1)...\phi(n)$ où $\phi$ désigne l'indicatrice d'Euler (déterminant de Smith). Si $K$ est de caractéristique nulle, je suis d'accord que $B$ est inversible puisque son déterminant est non nul. Mais je ne vois pas comment conclure si la caractéristique de $K$ est non nulle.
Si vous avez des idées, j'aimerais bien comprendre ce dernier point. Merci d'avance.
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Réponses
Il me semble par exemple que c'est le cas dans ce document:
http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/Agreg.Brauer.pdf
Tu confonds des choses, je pense. En haut de la page 4, cela se passe sur $\Z$ (ou $\Q$ comme tu veux) et pas sur $K$ : il s'agit de démontrer une égalité en nombres entiers à savoir l'égalité $c_k(\sigma) = c_k(\tau)$.