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Matrice inversible dans un corps

Envoyé par Lunarie 
Matrice inversible dans un corps
il y a onze mois
Bonjour,
Je travaille sur la preuve du théorème de Brauer qui dit que deux permutations de $S_{n}$ sont conjuguées si et seulement si leurs matrices de permutations sont conjugués dans $GL_{n}(K)$, où $K$ est un corps.
Pour montrer la réciproque, on obtient une matrice $B=(pgcd(i,j))_{i =1...n, j=1..n}$ et il reste à prouver son inversibilité. Pour cela, on montre que le déterminant de $B$ est $\phi(1)...\phi(n)$ où $\phi$ désigne l'indicatrice d'Euler (déterminant de Smith). Si $K$ est de caractéristique nulle, je suis d'accord que $B$ est inversible puisque son déterminant est non nul. Mais je ne vois pas comment conclure si la caractéristique de $K$ est non nulle.
Si vous avez des idées, j'aimerais bien comprendre ce dernier point. Merci d'avance.
Re: Matrice inversible dans un corps
il y a onze mois
$\varphi(n)$ est pair dès que $n \geq 3$ donc déjà ça ne risque pas de marcher en caractéristique $2$ !
Re: Matrice inversible dans un corps
il y a onze mois
Merci pour votre réponse, je suis entièrement d'accord! Mais du coup, quelque chose doit m'échapper parce que dans les preuves du théorème de Brauer dans un corps quelconque, j'ai l'impression que l'argument passe par ce déterminant de Smith...
Il me semble par exemple que c'est le cas dans ce document:
[agreg-maths.univ-rennes1.fr]
Re: Matrice inversible dans un corps
il y a onze mois
Citation
Le document mis en lien dit explicitement :
Les deux premières démonstrations utilisent des égalités entre des invariants linéaires (trace, déterminant), lesquels sont des éléments du corps de base; elles ne permettent pas de conclure en caractéristique positive. La dernière, un peu plus détournée, utilise la dimension de sous-espaces invariants; elle est valable en toute caractéristique.
Re: Matrice inversible dans un corps
il y a onze mois
@Lunarie
Tu confonds des choses, je pense. En haut de la page 4, cela se passe sur $\Z$ (ou $\Q$ comme tu veux) et pas sur $K$ : il s'agit de démontrer une égalité en nombres entiers à savoir l'égalité $c_k(\sigma) = c_k(\tau)$.
Re: Matrice inversible dans un corps
il y a onze mois
Merci beaucoup! En effet, il suffit d'avoir $B$ inversible dans $Q$, j'avais oublié que l'on voulait juste l'égalité d'entiers... Tout est clair maintenant!
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