Système d’équations

Bonjour,

Pas de solution. On réécrit le système. On somme les trois équations. On simplifie. On trouve une relation utile. On reporte. On a un nouveau système de trois équations. On substitue. On tombe sur une équation polynomiale avec des termes tous positifs et un terme strictement positif : qui ne s’annule pas.

En effet, YvesM a dû écarter ce cas un peu rapidement. En revanche, comme il l'a dit, si $x\ne y$ par exemple (et si $(x,y,z)$ est solution), alors $x^2y^2z^2=-1$.

En collaboration avec Mathematica, les solutions complexes sont

Bonjour @soland,

Je n'utilise pas de logiciel (et je le regrette des fois), mais quand je vois ce que Mathematica répond, je trouve que c'est illisible.

Pour $\displaystyle (x,y,z) \in (\C^*)^3$, avec $\displaystyle x+1/x=y+1/z$ et $\displaystyle y+1/y=z+1/x$ on trouve comme j'ai montré (par subsitution) $\displaystyle (x-y) (x^2 + (xy-1)^2)=0$ et donc $\displaystyle x=y$ ou $\displaystyle xy-1 = \varepsilon i x$ avec $\varepsilon = \pm 1.$ La solution $\displaystyle x=y$ donne $\displaystyle x=y=z$ et, comme la réciproque est vraie, on a $\displaystyle (x,y,z) = (t,t,t), t \in \C^*$ solution.
L'autre solution $\displaystyle xy-1 = \varepsilon i x$ donne $\displaystyle y=1/x + \varepsilon i.$
On a donc deux cas :
- soit $\displaystyle x = \varepsilon i$ et donc $\displaystyle xy-1=-1$ et donc $\displaystyle y=-2 \varepsilon i$ puis comme $\displaystyle z=y+1/y-1/x = 1/x+1/y = {x+y \over xy} = - {\varepsilon \over 2} i.$ La réciproque est vraie et donc $\displaystyle (x,y,z) = (\varepsilon i, -2 \varepsilon i, - {\varepsilon \over 2}i), \varepsilon = \pm 1$ est solution.
- soit $\displaystyle x \neq \varepsilon i$, et donc $\displaystyle y = 1/x+\varepsilon i$ et $\displaystyle z=y+1/y-1/x={1 \over x - \varepsilon i}.$ La récirpoque est vraie. On a donc $\displaystyle (x,y,z) = (x , 1/x+\varepsilon i, {1 \over x - \varepsilon i}), x \neq \varepsilon i, x \neq 0$ solution.