Sous-espaces supplémentaires anticommutant

$g\circ f \in L_2$ et $f\circ g \in L_1$ mais puisque $f\circ g=-g\circ f$ alors $f\circ g \in L_2$ donc $f\circ g=g\circ f=0$

J'ai surement dit des bêtises.
En tout cas, si $g\circ f \in L_2$ alors $f\circ g \in L_2$ car ces deux applications sont opposées l'une de l'autre. De même, si $g\circ f \in L_1$ alors $f\circ g \in L_1$
Puisque $L_2$ et $L_1$ sont supplémentaires, $g\circ f \in L_2$ ou $g\circ f \in L_1$

Il faudrait aboutir à $g=0$ ou $f=0$

Soit $P_1$ le projecteur sur $L_1$ parallèlement à $L_2$, et $P_2$ le projecteur sur $L_2$ parallèlement à $L_1$.
Soit $I_E=f+g$ avec $f \in L_1$ et $g \in L_2$.
Pour tout $u \in L_1, u=I_E \circ u=f\circ u +g \circ u$. De même, $u=u \circ f+u \circ g$. Donc $2u=f \circ u+ u \circ f$.
Pour tout $v \in L_2, 0=f \circ v + v\circ f$.
Donc, pour tout $w \in L(E)$, si on écrit $w=u+v$ avec $u \in L_1$ et $v \in L_2$, on obtient $2P_1(w)=f \circ w+w \circ f$.
Donc notamment, $2P_1(f)=2f^2$. Donc $f=f^2$.
De même, $g=g^2$.
Donc $f$ et $g$ sont des projecteurs.

Ensuite, on peut montrer que $f \circ g=g \circ f=0$ et se placer dans une base de valeurs propres communes.

$I_E$ est l'identité de $E$. Et je définis $f$ et $g$ comme étant $f=P_1(I_E)$ et $g=P_2(I_E)$.
$P_1$ et $P_2$ appartiennent à $L(L(E))$.

De plus, l'exercice n'est pas fini. Si $Im f \neq \{0\}$ et de même pour $Im g$.
Soit $F=Im f$, $G=Im g$, soit $(\alpha_1, \dots, \alpha_k)$ une base de $F$, et $(\beta_1,\dots, \beta_{n-k})$ une base de $G$.
Soit $w$ permutant $\alpha_1$ et $\beta_1$, et envoyant tous les autres vecteurs de base sur $0$.

On a alors $w=f \circ w+w\circ f=P_1(w)$, et de même, $w=g \circ w+w \circ g=P_2(w)$.
Donc $w \in L_1 \cap L_2$ et $w \neq 0$. Donc contradiction.

gerard0 écrivait :

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> Attention, $g\circ f$, à priori, n'est ni dans $L_1$, ni dans $L_2$

Pardon oui, c'est vrai...