valeur propre d'une matrice
Bonjour,
Je possède une matrice $M$ carrée d'ordre $n \in \mathbb N$ qui vérifie les données suivantes:
1) M est symétrique
2) toute ligne de $M$ possède $d>1$ coefficient égaux à 1, les autres sont nuls
3) tous ses éléments diagonaux sont nuls
4) si $m_{i,j}=0$ avec $i\ne j$ alors il existe un unique $k$ tel que $m_{i,k}=m_{j,k}=1$
5) si $m_{i,j}=1$ alors pour tout $k$, on a $m_{i,k}=0$ ou $m_{j,k}=0$
On demande si $M$ est diagonalisable : oui car $M$ est symétrique
On demande l'expression de $MJ$, $JM$ et $M^2$ en fonction de $J$ la matrice dont tous les coéfficients sont égaux à 1, de $M$ et de $I_n$ : j'ai trouvé $MJ=JM=dJ$ et $M^2=(d-1)I_n+J-M$
Maintenant, on me demande de prouver que $d$ appartient à $sp(M)$ donc si $d$ est une valeur propre de $M$. Pour moi, il faut prouver que $det(M-dI_n)=0$ mais comment faire?
Merci de votre aide.
Je possède une matrice $M$ carrée d'ordre $n \in \mathbb N$ qui vérifie les données suivantes:
1) M est symétrique
2) toute ligne de $M$ possède $d>1$ coefficient égaux à 1, les autres sont nuls
3) tous ses éléments diagonaux sont nuls
4) si $m_{i,j}=0$ avec $i\ne j$ alors il existe un unique $k$ tel que $m_{i,k}=m_{j,k}=1$
5) si $m_{i,j}=1$ alors pour tout $k$, on a $m_{i,k}=0$ ou $m_{j,k}=0$
On demande si $M$ est diagonalisable : oui car $M$ est symétrique
On demande l'expression de $MJ$, $JM$ et $M^2$ en fonction de $J$ la matrice dont tous les coéfficients sont égaux à 1, de $M$ et de $I_n$ : j'ai trouvé $MJ=JM=dJ$ et $M^2=(d-1)I_n+J-M$
Maintenant, on me demande de prouver que $d$ appartient à $sp(M)$ donc si $d$ est une valeur propre de $M$. Pour moi, il faut prouver que $det(M-dI_n)=0$ mais comment faire?
Merci de votre aide.
Réponses
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Pensez au vecteur p. $(1,1,\cdots,1)$
-
Ou simplement utiliser le fait déjà prouvé que MJ=dJ.
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Merci,
Si on a $MJ=dJ$, alors $MJ=DI_nJ$ donc $(M-dI_n)J=0$ donc $(M-dI_n)U=(0_{n,1})$ avec $ U=(1_{n,1})$. $d$ est donc valeur propre de $M$ avec $U$ comme vecteur propre associée.
Maintenant on demande :
1) $Ker(M-dI_n)=Vect(U)$.
Ici $Vect(U) \subset Ker(M-dI_n)$ est montré facilement
Comment montrer $Ker(M-dI_n) \subset Vect(U) $? peut-être en montrant que $dim(Ker(M-dI_n))=1$?
2) donner une relation entre $n$ et $d$ -
1) Montre que si X est non nul et vérifie MX=dX alors X est vecteur propre de J... et je te laisse conclure.
2) Par exemple avec la trace... -
Merci pour la piste:
1) Soit $X$ non nul qui vérifie $MX=dX$
Si j'utilise que $M^2=(d-1)I_n+J-M$, j'obtiens à partir de $M^2X=MdX$ : $(d-1)X+JX-MX=dMX$, soit $(d-1)X+JX-dX=d^2X$ donc $JX=(d^2+1)X$
Ainsi $X$ est vecteur propre de $J$. De cette manière on trouve que $X\in Vect(U)$ et donc que $Ker(M-dI_n) \subset Vect(U)$ et enfin que $Ker(M-dI_n) = Vect(U)$
Est-ce bon?
2) Je sais que la trace est égale à la somme des valeurs propres, avec d valeur propre et $Tr(M)=0$ mais je ne vois pas plus loin que cela.
Par contre, grâce à ce que j'ai trouvé au dessus :$JX=(d^2+1)X$ et en prenant $X=U=(1)_{n,1}$, j'obtiens $n=d^2+1$
Est-ce bon?
Merci beaucoup pour l'aide qui pourra m'être apportée -
1) Comment conclus-tu que X est colinéaire à U ? Quels sont les vecteurs propres de J ?
2) Là, c'est bon... sauf le vecteur X choisi !
3) Pour la dernière question, tu n'as pas dû bien chercher : tu peux le faire avec exactement la technique que je t'ai soufflée en 1). -
Merci bisam
1) à partir de $JX=(d^2+1)X$, j'obtiens que $JX=aU$ avec $a$ qui vaut la somme des éléments de X. Ainsi $aU=(d^2+1)X$ Donc $X$ est colinéaire à $U$.
Quels sont les vecteurs propres de J ? les vecteurs propres de J sont des vecteurs colinéaires à $U$
2) D'après toi, $n=d^2+1$ est bon mais pourquoi $JX=(d^2+1)X$ ne peut pas être appliquer pour $X=U$?
3) Je pense avoir trouvé : en partant de $MX=\lambda X$ j'obtiens comme dans le 1) : $JX=(\lambda^2 + \lambda -d+1)X$
On a $JX=aU$ avec $a$ qui vaut la somme des éléments de X.
On a alors 2 cas :
Si $a\ne 0$ alors $X\in Vect(U)$ et $\lambda=d$ et $\lambda^2 + \lambda -d+1=d^2+1$
Si $a=0$ alors $(\lambda^2 + \lambda -d+1)X=0$ et $\lambda^2 + \lambda -d+1=0$ car $X\ne 0$. Ce cas est celui des vecteurs propres de $M$ autres que $d$.
4) Enfin, on me demande de montrer que $\mu_M=P=(X-d)(X^2+X-d+1)$ par l'absurde en utilisant $Tr(M)=0$.
J'ai bien vu que P annulait M. Cela parait évidant qu'il s'agit du polynôme minimal de M car un polynome de degré inférieur n'annulerait pas $M$. En quoi la trace est utile?
Merci de toute aide qui peut m'être apportée. -
Pour 1), tu te trompes ! J est diagonalisable et donc possède une base complète de vecteurs propres... U est loin d'être le seul !
Pour 2), tu as corrigé ton message qui affichait autre chose que X=U... Du coup, c'est juste.
Pour 3), l'idée est bonne, mais tu confonds vecteurs propres et valeurs propres dans ton raisonnement.
Pour 4), je n'ai pas le temps ce matin... -
1) oui, je me suis trompé pour "les vecteurs propres de $J$ sont des vecteurs colinéaires à $U$". En fait, certains vecteurs propres sont colinéaires à $U$ et d'autres correspondent à des valeurs propres nulles. Mais je vais pas chercher plus loin... car mon but était $n=d^2+1$
2) je me souviens pas avoir modifié quelque chose
3) Dans "Ce cas est celui des vecteurs propres de $M$ autres que $d$" je voulais dire "Ce cas est celui des valeurs propres de $M$ autres que $d$":
4) pour montrer que $P=(X-d)(X^2+X-d+1)$ est polynôme minimal de $M$.
On peut supposer qu'il ne l'ai pas et donc que le polynôme minimal $\mu_M$ a pour degré 1 ou 2 donc.
Puisque le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur de $M$, il y a 6 possibilités pour Q ($\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont les racines réelles de$X^2+X-d+1$) :
si $deg(Q)=2$
$Q=(X-d)(X-\lambda_1)$ ou $Q=(X-d)(X-\lambda_2)$ ou $Q=(X-\lambda_2)(X-\lambda_1)$
si $deg(Q)=1$
$Q=(X-\lambda_2)$ ou $Q=(X-\lambda_1)$ ou $Q=(X-d)$
Or aucune de ces possibilités n'annule $M$ donc $Q=P=\mu_M$ -
Bonsoir
Y-a t’il Y a-t-il quelqu'un qui peut valider mon raisonnement du 4) ?
Merci -
Les racines de $(X^2+X-d+1)$ sont $\lambda_1=\frac{-1-\sqrt{4d-3}}{2}$ et $\lambda_2=\frac{-1-\sqrt{4d-3}}{2}$
Puisque aucun des 6 polynômes diviseurs de P n'est annulateur de M et puisque P est annulateur de M alors P est le polynôme minimal de M
CQFD??? -
As-tu vraiment besoin que l'on te tienne la main ?
Tu as su traverser la rue sans aide... inutile de demander si tu es bien arrivé de l'autre côté ! -
Bisam
J'avais besoin de la confirmation que j'avais bien traversé la rue. :-)
Maintenant je veux savoir comment j'aurais pu traverser la rue d'une autre manière.
On me suggère dans l'énoncé d'utiliser $Tr(M)$ pour montrer par l'absurde que $P=(X-d)(X^2+X-d+1)$ est le polynôme minimal de $M$.
As-tu une piste ?
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Bonjour!
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