valeur propre d'une matrice
Bonjour,
Je possède une matrice $M$ carrée d'ordre $n \in \mathbb N$ qui vérifie les données suivantes:
1) M est symétrique
2) toute ligne de $M$ possède $d>1$ coefficient égaux à 1, les autres sont nuls
3) tous ses éléments diagonaux sont nuls
4) si $m_{i,j}=0$ avec $i\ne j$ alors il existe un unique $k$ tel que $m_{i,k}=m_{j,k}=1$
5) si $m_{i,j}=1$ alors pour tout $k$, on a $m_{i,k}=0$ ou $m_{j,k}=0$
On demande si $M$ est diagonalisable : oui car $M$ est symétrique
On demande l'expression de $MJ$, $JM$ et $M^2$ en fonction de $J$ la matrice dont tous les coéfficients sont égaux à 1, de $M$ et de $I_n$ : j'ai trouvé $MJ=JM=dJ$ et $M^2=(d-1)I_n+J-M$
Maintenant, on me demande de prouver que $d$ appartient à $sp(M)$ donc si $d$ est une valeur propre de $M$. Pour moi, il faut prouver que $det(M-dI_n)=0$ mais comment faire?
Merci de votre aide.
Je possède une matrice $M$ carrée d'ordre $n \in \mathbb N$ qui vérifie les données suivantes:
1) M est symétrique
2) toute ligne de $M$ possède $d>1$ coefficient égaux à 1, les autres sont nuls
3) tous ses éléments diagonaux sont nuls
4) si $m_{i,j}=0$ avec $i\ne j$ alors il existe un unique $k$ tel que $m_{i,k}=m_{j,k}=1$
5) si $m_{i,j}=1$ alors pour tout $k$, on a $m_{i,k}=0$ ou $m_{j,k}=0$
On demande si $M$ est diagonalisable : oui car $M$ est symétrique
On demande l'expression de $MJ$, $JM$ et $M^2$ en fonction de $J$ la matrice dont tous les coéfficients sont égaux à 1, de $M$ et de $I_n$ : j'ai trouvé $MJ=JM=dJ$ et $M^2=(d-1)I_n+J-M$
Maintenant, on me demande de prouver que $d$ appartient à $sp(M)$ donc si $d$ est une valeur propre de $M$. Pour moi, il faut prouver que $det(M-dI_n)=0$ mais comment faire?
Merci de votre aide.
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Réponses
Si on a $MJ=dJ$, alors $MJ=DI_nJ$ donc $(M-dI_n)J=0$ donc $(M-dI_n)U=(0_{n,1})$ avec $ U=(1_{n,1})$. $d$ est donc valeur propre de $M$ avec $U$ comme vecteur propre associée.
Maintenant on demande :
1) $Ker(M-dI_n)=Vect(U)$.
Ici $Vect(U) \subset Ker(M-dI_n)$ est montré facilement
Comment montrer $Ker(M-dI_n) \subset Vect(U) $? peut-être en montrant que $dim(Ker(M-dI_n))=1$?
2) donner une relation entre $n$ et $d$
2) Par exemple avec la trace...
1) Soit $X$ non nul qui vérifie $MX=dX$
Si j'utilise que $M^2=(d-1)I_n+J-M$, j'obtiens à partir de $M^2X=MdX$ : $(d-1)X+JX-MX=dMX$, soit $(d-1)X+JX-dX=d^2X$ donc $JX=(d^2+1)X$
Ainsi $X$ est vecteur propre de $J$. De cette manière on trouve que $X\in Vect(U)$ et donc que $Ker(M-dI_n) \subset Vect(U)$ et enfin que $Ker(M-dI_n) = Vect(U)$
Est-ce bon?
2) Je sais que la trace est égale à la somme des valeurs propres, avec d valeur propre et $Tr(M)=0$ mais je ne vois pas plus loin que cela.
Par contre, grâce à ce que j'ai trouvé au dessus :$JX=(d^2+1)X$ et en prenant $X=U=(1)_{n,1}$, j'obtiens $n=d^2+1$
Est-ce bon?
Merci beaucoup pour l'aide qui pourra m'être apportée
On me demande ensuite de montrer que $\lambda^2 + \lambda -d+1=0$ avec $\lambda \in Sp(M) $
2) Là, c'est bon... sauf le vecteur X choisi !
3) Pour la dernière question, tu n'as pas dû bien chercher : tu peux le faire avec exactement la technique que je t'ai soufflée en 1).
1) à partir de $JX=(d^2+1)X$, j'obtiens que $JX=aU$ avec $a$ qui vaut la somme des éléments de X. Ainsi $aU=(d^2+1)X$ Donc $X$ est colinéaire à $U$.
Quels sont les vecteurs propres de J ? les vecteurs propres de J sont des vecteurs colinéaires à $U$
2) D'après toi, $n=d^2+1$ est bon mais pourquoi $JX=(d^2+1)X$ ne peut pas être appliquer pour $X=U$?
3) Je pense avoir trouvé : en partant de $MX=\lambda X$ j'obtiens comme dans le 1) : $JX=(\lambda^2 + \lambda -d+1)X$
On a $JX=aU$ avec $a$ qui vaut la somme des éléments de X.
On a alors 2 cas :
Si $a\ne 0$ alors $X\in Vect(U)$ et $\lambda=d$ et $\lambda^2 + \lambda -d+1=d^2+1$
Si $a=0$ alors $(\lambda^2 + \lambda -d+1)X=0$ et $\lambda^2 + \lambda -d+1=0$ car $X\ne 0$. Ce cas est celui des vecteurs propres de $M$ autres que $d$.
4) Enfin, on me demande de montrer que $\mu_M=P=(X-d)(X^2+X-d+1)$ par l'absurde en utilisant $Tr(M)=0$.
J'ai bien vu que P annulait M. Cela parait évidant qu'il s'agit du polynôme minimal de M car un polynome de degré inférieur n'annulerait pas $M$. En quoi la trace est utile?
Merci de toute aide qui peut m'être apportée.
Pour 2), tu as corrigé ton message qui affichait autre chose que X=U... Du coup, c'est juste.
Pour 3), l'idée est bonne, mais tu confonds vecteurs propres et valeurs propres dans ton raisonnement.
Pour 4), je n'ai pas le temps ce matin...
2) je me souviens pas avoir modifié quelque chose
3) Dans "Ce cas est celui des vecteurs propres de $M$ autres que $d$" je voulais dire "Ce cas est celui des valeurs propres de $M$ autres que $d$":
4) pour montrer que $P=(X-d)(X^2+X-d+1)$ est polynôme minimal de $M$.
On peut supposer qu'il ne l'ai pas et donc que le polynôme minimal $\mu_M$ a pour degré 1 ou 2 donc.
Puisque le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur de $M$, il y a 6 possibilités pour Q ($\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont les racines réelles de$X^2+X-d+1$) :
si $deg(Q)=2$
$Q=(X-d)(X-\lambda_1)$ ou $Q=(X-d)(X-\lambda_2)$ ou $Q=(X-\lambda_2)(X-\lambda_1)$
si $deg(Q)=1$
$Q=(X-\lambda_2)$ ou $Q=(X-\lambda_1)$ ou $Q=(X-d)$
Or aucune de ces possibilités n'annule $M$ donc $Q=P=\mu_M$
Y-a t’il Y a-t-il quelqu'un qui peut valider mon raisonnement du 4) ?
Merci
Puisque aucun des 6 polynômes diviseurs de P n'est annulateur de M et puisque P est annulateur de M alors P est le polynôme minimal de M
CQFD???
Tu as su traverser la rue sans aide... inutile de demander si tu es bien arrivé de l'autre côté !
J'avais besoin de la confirmation que j'avais bien traversé la rue. :-)
Maintenant je veux savoir comment j'aurais pu traverser la rue d'une autre manière.
On me suggère dans l'énoncé d'utiliser $Tr(M)$ pour montrer par l'absurde que $P=(X-d)(X^2+X-d+1)$ est le polynôme minimal de $M$.
As-tu une piste ?