Quotient.

CechLM
CechLM
dans Algèbre
Salut à tous.

Existe-il un résultat accessible en L3 (personnellement j'ai vu : groupe quotient de groupe abélien, 1er théorème d'isomorphisme) qui dit quelque chose du genre : $\frac{pZ}{qZ}$ isomorphe (groupe) $\frac{Z}{\frac{p}{q}Z}$.

Si oui pouvez vous me l'énoncez rigoureusement, me dire si je peux le démontrer avec mes connaissances. Auquel cas j'essayerai de le faire comme un exercice et je vous poste la réponse (qui peut être que je n'ai pas trouvé).

Je vous remercie.

Réponses

  • b.b
    b.b
    Ta fraction n'est pas dans le bon sens : c'est $\Z/\frac{q}{p} \Z$ et il faut préciser que $p$ divise $q$ pour que $p\Z/q\Z$ soit un sous-groupe de $\Z/q \Z$.

    Tu peux essayer de prouver que $p\Z/q \Z$ est un sous-groupe cyclique d'ordre $\frac{q}{p}$ de $\Z/q \Z$ et comme tout groupe cyclique d'ordre $\frac{q}{p}$ est isomorphe à $\Z/\frac{q}{p} \Z$, tu pourras conclure.
  • Poirot
    Poirot
    On peut aussi chercher à déterminer le noyau et l'image du morphisme $x \mapsto x \pmod q$ de $p\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/q \mathbb Z$.
  • b.b
    b.b
    @ Poirot

    Ne faudrait-il pas plutôt considérer $\Z\longrightarrow\Z/q\Z\longrightarrow (\Z/q\Z)/(p\Z/q\Z)$ ? Sauf erreur, je crois que $p\Z\longrightarrow \Z/q\Z$ ne nous donne que $p\Z/q\Z\simeq p\Z/q\Z$ comme isomorphisme.
  • Poirot
    Poirot
    Oui en effet :-D
  • CechLM
    CechLM
    b.b écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1549352,1549358#msg-1549358
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    1) $\frac{pZ}{qZ}$ est un sous groupe de $\frac{Z}{qZ}$. (C'est même le sous-groupe engendré par la classe de p).
    Quels sont ses éléments ? $\frac{pZ}{qZ} = \{qZ,qZ+p,...,qZ+(k-1)p\}$ avec $q = kp$.
    Donc il contient $k = \frac{p}{q}$ éléments il est donc isomorphe en tant que groupe cyclique à $\frac{Z}{\frac{p}{q}Z}$

    Maintenant reste plus qu'à montrer rigoureusement que $\frac{pZ}{qZ}$ est un sous-groupe... Mais je ne vois pas trop...
  • CechLM
    CechLM
    Au passage maintenant, j'ai plus de facilité à voir que : $\frac{pZ}{qZ} = \frac{pZ+qZ}{qZ} = \frac{(pgcd(p,q)Z}{qZ}$ est isomorphe à $\frac{Z}{\frac{q}{pgcd(p,q)}Z}$
  • Poirot
    Poirot
    Tu peux montrer à la main que $p(\mathbb Z/q \mathbb Z)$ est un sous-groupe de $\mathbb Z/q \mathbb Z$. Sinon tu peux remarquer la multiplication par $p$ définit un endomorphisme (de groupe) de $\mathbb Z/q \mathbb Z$, et donc son image en est bien un sous-groupe.
  • CechLM
    CechLM
    Salut oui je pourrais le faire à la main, ma prof m'a dit "puisque les sous groupe de $Z$ sont de la forme $nZ$ alors les sous groupes de $Z/nZ$ sont de la forme $mZ/nZ$ avec m divisant n."
    Je n'ai pas compris... Elle va trop vite pouvez vous me réexpliquer s'il vous plaît ?
  • Poirot
    Poirot
    Les sous-groupes de $\mathbb Z/n \mathbb Z$ sont exactement les groupes de la forme $H/n \mathbb Z$, où $H$ est un sous-groupe de $\mathbb Z$ contenant $n \mathbb Z$. Il s'agit donc des groupes de la forme $m \mathbb Z/n \mathbb Z$ avec $m$ divisant $n$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Esquisse de démonstration de la première assertion de Poirot (ou presque). On a un morphisme de groupes $\phi:\Z\to\Z/n\Z$ (la réduction modulo $n$). Si $\Gamma$ est un sous-groupe de $\Z/n\Z$, alors $H=\phi^{-1}(\Gamma)$ est un sous-groupe de $\Z$ (vérifie !) qui contient $n\Z=\ker(\phi)=\phi^{-1}\bigl(\{0\}\bigr)$ (ce qui est évident : pourquoi ?).

    Edit: Grmbl, Mahjax ne comprend pas $\Eta$ !
  • CechLM
    CechLM
    L'image réciproque d'un sous groupe : Ok.
    Donc $H = mZ$
    $H$ contient $nZ$ car $ \{0\} \subset \Gamma$.
    Donc $nZ\subset mZ$ c'est à dire $ m | n$.
    Donc $\Gamma = \phi(H)$. Maintenant faut montrer que $\phi(mZ) = mZ/nZ$. Ce qui semble évident.
  • Poirot
    Poirot
    Ce qui te semble évident l'est bien, c'est la définition de $\phi$ !
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