Quotient.
Salut à tous.
Existe-il un résultat accessible en L3 (personnellement j'ai vu : groupe quotient de groupe abélien, 1er théorème d'isomorphisme) qui dit quelque chose du genre : $\frac{pZ}{qZ}$ isomorphe (groupe) $\frac{Z}{\frac{p}{q}Z}$.
Si oui pouvez vous me l'énoncez rigoureusement, me dire si je peux le démontrer avec mes connaissances. Auquel cas j'essayerai de le faire comme un exercice et je vous poste la réponse (qui peut être que je n'ai pas trouvé).
Je vous remercie.
Existe-il un résultat accessible en L3 (personnellement j'ai vu : groupe quotient de groupe abélien, 1er théorème d'isomorphisme) qui dit quelque chose du genre : $\frac{pZ}{qZ}$ isomorphe (groupe) $\frac{Z}{\frac{p}{q}Z}$.
Si oui pouvez vous me l'énoncez rigoureusement, me dire si je peux le démontrer avec mes connaissances. Auquel cas j'essayerai de le faire comme un exercice et je vous poste la réponse (qui peut être que je n'ai pas trouvé).
Je vous remercie.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Tu peux essayer de prouver que $p\Z/q \Z$ est un sous-groupe cyclique d'ordre $\frac{q}{p}$ de $\Z/q \Z$ et comme tout groupe cyclique d'ordre $\frac{q}{p}$ est isomorphe à $\Z/\frac{q}{p} \Z$, tu pourras conclure.
Ne faudrait-il pas plutôt considérer $\Z\longrightarrow\Z/q\Z\longrightarrow (\Z/q\Z)/(p\Z/q\Z)$ ? Sauf erreur, je crois que $p\Z\longrightarrow \Z/q\Z$ ne nous donne que $p\Z/q\Z\simeq p\Z/q\Z$ comme isomorphisme.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
1) $\frac{pZ}{qZ}$ est un sous groupe de $\frac{Z}{qZ}$. (C'est même le sous-groupe engendré par la classe de p).
Quels sont ses éléments ? $\frac{pZ}{qZ} = \{qZ,qZ+p,...,qZ+(k-1)p\}$ avec $q = kp$.
Donc il contient $k = \frac{p}{q}$ éléments il est donc isomorphe en tant que groupe cyclique à $\frac{Z}{\frac{p}{q}Z}$
Maintenant reste plus qu'à montrer rigoureusement que $\frac{pZ}{qZ}$ est un sous-groupe... Mais je ne vois pas trop...
Je n'ai pas compris... Elle va trop vite pouvez vous me réexpliquer s'il vous plaît ?
Edit: Grmbl, Mahjax ne comprend pas $\Eta$ !
Donc $H = mZ$
$H$ contient $nZ$ car $ \{0\} \subset \Gamma$.
Donc $nZ\subset mZ$ c'est à dire $ m | n$.
Donc $\Gamma = \phi(H)$. Maintenant faut montrer que $\phi(mZ) = mZ/nZ$. Ce qui semble évident.