Fonction de Z/pZ dans Z/pZ ( encore )

Bono2007
Bono2007
dans Algèbre
Bonsoir, et encore désolé de vous embêter,

Autre khole :
on a :
$f: \mathbb Z/ 15 \mathbb Z \to \mathbb Z/ 15 \mathbb Z$
$ \bar x \mapsto \bar x/5$ si 5 divise $x$
$ \bar x \mapsto 2\bar x$ sinon
Question : peut-on définir f ?

J'ai facilement trouvé les images des classes ( respectivement ):
$\bar x$ : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
$f( \bar x)$ : 0 2 4 6 8 1 12 14 1 3 2 7 9 11 13

Si j'ai bien compris "définir f", c'est que pour tout élément de $\mathbb Z/ 15 \mathbb Z$, il existe une seule image, dans $\mathbb Z/ 15 \mathbb Z$
ce qui semble être le cas.

Juste que $\bar 5$ et $\bar {10}$ n'ont pas d'antécédents.

Ou alors je suis à l'Ouest !
Bonne soirée.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Attention, ce message est incorrect, voir la suite.

    Bonjour.

    Je suppose que les antécédents, pour f sont bien $\bar x$ et pas $x$ qui n'est pas dans l'ensemble de départ. La définition de la fonction se faisant facilement dans $\mathbb Z/ 15 \mathbb Z$ (*), pas de problème de définition de f.

    Cordialement.

    (*) replacer "si 5 divise x" par si $\bar x= \bar 0,\,\bar 5 \text{ ou } \bar{10}$
  • b.b
    b.b
    Bonsoir

    Dans $\Z/15\Z$, nous avons $\overline{5}=\overline{20}$, est-ce que tu vois pourquoi ceci nous pose un problème pour définir $f$ ?
  • Bono2007
    Bono2007
    gerard0 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1551172,1551178#msg-1551178
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
    Oui j'ai corrigé, je débute dans la syntaxe. Mais par contre dans l'énoncé il est bien écrit "quand 5 divise x"
  • b.b
    b.b
    @ Bono2007
    Laisse tomber mon message, je n'avais pas bien compris l'énoncé.
  • gerard0
    gerard0
    B.B : Quel problème ?
    Ah, peut-être un problème de lecture : Classe de (x/5) ou (classe de x)/5 (*) ?
    De ce fait, je ne sais plus quel est l'énoncé.
  • Bono2007
    Bono2007
    b.b écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1551172,1551180#msg-1551180
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Non pas du tout, puisque ce sont les mêmes éléments de $\mathbb Z/ 15 \mathbb Z$ ?
  • gerard0
    gerard0
    Non B.b,

    finalement, c'est toi qui a raison, puisque l'énoncé est bien "classe de (x/5)".
    N'importe comment, $\bar 5$ est un diviseur de 0, donc je racontais des bêtises.

    Cordialement.
  • Bono2007
    Bono2007
    Je reformule :
    Peut-on définir une application f de $\mathbb Z/ 15 \mathbb Z$ dans $\mathbb Z/ 15 \mathbb Z$ qui à $\bar x$ fait correspondre la classe de x/5 si x est un multiple de 5, et $2 \bar x$ sinon ?
    Désolé
  • gerard0
    gerard0
    Bono,

    5/5 = ? 20/5 = ?

    Mon premier message est totalement incorrect.

    Cordialement.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonsoir,

    Cet exercice, tout comme celui-ci, est un non-sens. Ils auraient dû être rédigés différemment pour être viables. Si j'ai le temps, j'y reviendrai plus tard.

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Bono2007
    Bono2007
    Je suis passé par la définition et ça me perturbe du coup :
    si a est dans la classe de 5, alors il existe k tel que x = 15k+5
    du coup x/5 = 3k + 1
    Mais alors la classe de (x/5) peut être la classe de 4,7,10,13,1 ( en testant k=0,1,2,3,4 )
    Donc j'étais déjà à côté.

    Ca donnerait donc pour la classe de 20, la même chose, non ? ( x = 15k+20 = 15k'+5 )
    Par contre vu comme cela, il n'y a pas qu'une seule image, donc l'application n'est pas définie.
  • b.b
    b.b
    @ gerard0 Après lecture de ton message, j'avais eu un doute, je penchais plus pour ton interprétation, comme quoi...

    @ Bono2007 Quand on tente de définir une application dont l'ensemble de départ est un quotient, il faut s'assurer que l'image d'une classe ne dépend pas de ses représentants. Est-ce que tu vois en quoi ce n'est pas le cas ici avec l'exemple $\overline{5}=\overline{20}$ ?
  • Bono2007
    Bono2007
    @b.b
    Je crois avoir trouvé la réponse juste avant ton post
    Sinon je ne comprends pas avec l'exemple, pour moi, les classes de 5 et de 20 ont des images dans le même ensemble ( les classes de 1,4,7,10 et 13 )
  • b.b
    b.b
    @ Bono2007

    Supposons que $f$ soit une application. On aurait alors
    $f(\overline{5})=\overline{5/5}=\overline{1}$ et $f(\overline{20})=\overline{20/5}=\overline{4}$.
    Comme $\overline{5}=\overline{20}$, $f(\overline{5})$ devrait être égal à $f(\overline{20})$, mais ce n'est pas le cas vu que $\overline{1}\ne\overline{4}$.
  • Bono2007
    Bono2007
    Oui je comprends, mais ce qui me dérange c'est que $f(\bar 20) = \bar 4$ , ne serait-elle pas plutôt dans {$\bar 1, \bar 4, \bar 7, \bar 10, \bar 13$} ?
    Si j'ai bien compris, $x \in \bar {20} \Leftrightarrow \exists k \ tq \ x = 15k + 20$ soit $x/5 = 3k+4$ ce qui donne $\bar 1, \bar 4, \bar 7, \bar 10, \bar 13$ pour k=0,1,2,3,4

    Non ?
  • b.b
    b.b
    Oui oui, c'est correct, tu avais déjà trouvé la réponse en fait.

    Edit : vu que tu viens de modifier ton message à l'instant, le mien n'a plus aucun sens...
  • b.b
    b.b
    Ben, on a bien $\overline{4}\in\{\overline{1},\overline{4},\overline{7},\overline{10},\overline{13}\}$, non ? Où est le problème ?
  • Bono2007
    Bono2007
    Non ta méthode me convient, c'est juste pour savoir si j'avais bon aussi.
    Merci, c'est très enrichissant ces échanges, ça réveille mes neurones.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7

Congru +6 Invités