Relation entre coefficients et racines

PolVano · October 2017

Bonsoir,

J'ai cherché dans le forum à propos du sujet mais je n'ai pas trouvé de post qui répondait à ma question. Je ne trouve que la même démonstration mais que je ne comprends pas. J'espère quelqu'un puisse m'expliquer la démonstration. J'ai essayé de comprendre ce qui se passe au niveau d'un polynôme de 4ème degré : P=(X-1)(X-2)(X-3)(X-4) . J'ai essayé d'avoir un polynome de degré 3 , donc j'ai multiplié 3 de ces termes ( qui donneront bien sûr un polynome unitaire de degré 3 ) : (X-1)(X-2)(X-3)=(X²-2X-X+2)(X-3)=(X²-3X+2)(X-3)=X³-3X²-3X²+9X+2X+6=X³-6X²+11X-6. Et don après multiplication par X-4 pour avoir mon polynome P , je vois bien que c'est les coefficients -4 et -6 qui constituent le coefficient en X³ , et si on remonte dans le calcul on voit que -6 s'obtient de -2 -1 -3 , qui constituent les 3 autres racines. Mais sinon, j'arrive pas trop à faire le même raisonnement pour les autres coefficients. Et je ne vois pas comment généraliser, je veux dire faire une démonstration rigoureuse.

J'espère que vous pourrez m'aider à assimiler le raisonnement entrepris pour établir les relations entre coefficients et racines .

Merci d'avance.

YvesM · October 2017

Bonjour,

Tu dois faire un calcul littéral avec (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) et développer pour identifier les coefficients aux racines.

PolVano · October 2017

Bonjour,

Je l'ai fait, et je comprends en fait d'où vient la formule. Car en remontant les calculs à chaque fois on vient bien la relation entre les coefficients et les racines. Mais je n'arrive pas à assimiler la généralisation. Je veux dire, on peut pas se permettre de dire : voilà cela marche pour des petits degrés, alors on va poser la généralisation ( car c'est notre démonstration dans le cours en fait... " en identifiant ... on a ... " ) .

GaBuZoMeu · October 2017

Tu n'est pas convaincu du fait que, quand on développe $\prod_{i=1}^n (X-a_i)$, le coefficient de $X^{n-k}$ est $(-1)^k$ fois la somme des produits $k$ à $k$ des $a_i$ ? En effet, on regarde dans le développement toutes les façons de prendre $X$ dans $n-k$ parmi les facteurs et $-a_i$ dans les $k$ autres.
Si tu n'es pas convaincu, tu peux aussi faire un raisonnement par récurrence. Si on appelle $\sigma_k$ la somme des produits $k$ à $k$ de $a_1,\ldots,a_n$ et $\sigma'_k$ la somme des produits $k$ à $k$ de $a_1,\ldots,a_{n-1}$, alors $\sigma_k=\sigma'_k+\sigma'_{k-1}a_n$.

PolVano · October 2017

Bonsoir,

C'est bon votre réponse m'a convaincue ( surtout la première méthode ) .
Je vous remercie tous les deux pour votre aide.

Relation entre coefficients et racines

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