Une petite question: soit $x$ un entier algébrique non nul et $a$ le coefficient constant de son polynôme minimal (sur $\mathbb{Q}$). Est-ce vrai que $a^{-1} \in \mathbb{Z}[1/x]$
Tu voulais dire son polynôme minimal unitaire sur $\Z$ j'imagine.
On a $\Z[1/x] = \Z[Y]/(P(Y))$ avec $P$ un certain polynôme (le « renversé » du polynôme minimal de $x$). Pour avoir une condition à l'inversibilité de $a \in \Z$ dans $\Z[Y]/(P(Y))$, il faut écrire ce que ça veut dire : il existe $a^{-1} \in \Z[Y]$ tel que $a a^{-1} = 1 \mod P$…
Réponses
On a $\Z[1/x] = \Z[Y]/(P(Y))$ avec $P$ un certain polynôme (le « renversé » du polynôme minimal de $x$). Pour avoir une condition à l'inversibilité de $a \in \Z$ dans $\Z[Y]/(P(Y))$, il faut écrire ce que ça veut dire : il existe $a^{-1} \in \Z[Y]$ tel que $a a^{-1} = 1 \mod P$…