Intérieur matrices trigonalisables réelles

MrJ · October 2017

Bonjour,

j'essaye de déterminer l'intérieur de l'ensemble $T_n(\R)$ des matrices trigonalisables de $M_n(\R)$.
Je pense qu'il s'agit de l'ensemble des matrices diagonalisables à valeurs propres simples $B_n(\R)$.

J'ai déjà prouvé que $B_n(\R)$ est un ouvert de $M_n(\R)$.
Je n'arrive pas à montrer qu'une matrice $T_n(\R)\setminus B_n(\R)$ n'est pas un point intérieur de $T_n(\R)$.

Auriez-vous des idées ? Merci.

GaBuZoMeu · October 2017

Vois-tu comment perturber la matrice $\pmatrix{a&1\\0&a}$ en une matrice qui n'est pas trigonalisable sur $\R$ ?

MrJ · October 2017

Merci!
Je cherchais à la rendre antisymétrique pour qu'elle ne soit pas trigonalisable sur $\R$, mais en fait on n'en a pas besoin.

Pour ceux que cela intéresse, la suite $(M_n)$ définie par $$
\forall n\in\N^\ast,\quad M_n=\begin{pmatrix}a & 1 \\ -1/n & a\end{pmatrix}
$$ converge vers la matrice de GaBuZoMeu, mais $M_n$ n'est pas trigonalisable pour tout $n\in\N^\ast$.
(Puis après, on se ramène toujours à ce cas en trigonalisant).

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