montrer automorphisme en dimension infinie

Impossible : l'image de $X^{n+1}$ n'est pas définie.

Au fait, automorphisme = automorphisme d'espace vectoriel ?

Eh bien dans ce cas-là, si la question est "soit $\phi: \mathbb{R}[X]\to \mathbb{R}[X]$ linéaire tel que pour tout $n$, la restriction/corestriction de $\phi$ à $\mathbb{R}_n[X]$ est bien définie et un automorphisme, a-t-on que $\phi$ est un automorphisme ?" la réponse est évidemment oui.

En fait, plus généralement, si $E$ est un espace vectoriel et $E=\displaystyle\bigcup_{i\in I}E_i$ avec $E_i$ des sev de $E$ et $I$ un ensemble , et si $\phi :E\to E$ peut être restreinte/corestreinte à $E_i$ en un automorphisme, alors $\phi$ est un automorphisme de $E$.

Je te fais une esquisse rapide des idées de la preuve dans ton cas particulier, et te laisse la compléter et, si ça t'intéresse, l'adapter au cas général :
$\phi$ est injective sur $\mathbb{R}[X]$ car si $P\in \mathbb{R}[X]$, alors il existe $n$ tel que $P\in \mathbb{R}_n[X]$
$\phi$ est surjective sur $\mathbb{R}[X]$ car si $P\in \mathbb{R}[X]$, alors il existe $n$ tel que $P\in \mathbb{R}_n[X]$

(Note pour le cas général : si on suppose $I$ ordonné filtrant, et $i\leq j \implies E_i \subset E_j$, alors on peut même ne supposer que $\phi$ linéaire sur chaque $E_i$, pour obtenir la linéarité sur $E$)

La question ainsi posée n'a pas de sens.
On peut poser une autre question ainsi :

Si $\phi$ est un endomorphisme de $\R[X]$ qui induit un automorphisme de $\R_n[X]$ pour tout entier $n\in\N$, est-il un automorphisme de $\R[X]$ ?

Edit : Oups, je n'avais pas vu les deux dernières réponses...

Pour la surjectivité tu as compris ce que je voulais dire, mais pour l'injectivité fais attention : $Q_1, Q_2$ pourrait être dans $\mathbb{R}_n[X], \mathbb{R}_m[X]$ respectivement. Si je ne t'ai indiqué que $\mathbb{R}_n[X]$ c'est pour que tu utilises un autre critère d'injectivité pour les applications linéaires

Non, ou en tout cas tu ne l'as pas bien écrit, tu écris "il existe au plus un $Q\in \mathbb{R}_n[X]$ donc $Q\in \mathbb{R}[X]$ tel que $\phi(Q)=P$", mais il pourrait (à première vue) exister un $Q \in \mathbb{R}_n[X]$, et un $R\in \mathbb{R}_m[X]$ tels que blabla