Injective/surjective

Hob___
Hob___
dans Algèbre
Soit E un ensemble et f : de E dans E telle que : ( f o f o f ) = f .
Pourriez-vous me donner un indice afin de m'aider à prouver que "f est injective si, et seulement si, f est surjective" ?

[Transféré la discussion en Algèbre. AD]

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Commence par montrer $f$ injective implique $f$ surjective. C'est pratiquement immédiat.
    Puis cherche comment montrer que $f$ surjective implique $f$ injective. C'est déjà plus coton. Indication : montre d'abord que $f$ surjective implique $f \circ f$ surjective ; et utilise $f^{(3)} = f(f^{(2)}).$

    Une heure à chercher si c'est nouveau pour toi...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Les deux implications sont de la même difficulté.
    Le plus simple est sans doute de commencer par s'apercevoir que
    1°) Si $f$ est injective, alors $f$ est simplifiable à gauche ($f\circ g=f\circ h$ entraîne $g=h$).
    2°) Si $f$ est surjective, alors $f$ est simplifiable à droite ($g\circ f=h\circ f$ entraîne $g=h$).

    PS. Rien à voir avec l'arithmétique !
  • Hob___
    Hob___
    Alors, soit E un ensemble et f : de E dans E telle que : ( f o f o f ) = f .
    Montrons que f est injective si, et seulement si, f est surjective.

    1[small]er[/small] cas : f injective

    ( f o f o f ) = f <=> f o ( f o f ) = f o id[small]E[/small]

    g o f[small]1[/small] = g o f[small]2[/small] et g injective. On a f[small]1[/small] = f[small]2[/small] :

    Soit x appartenant à E. On a ( f o ( f o f ) )(x) = ( f o id[small]E[/small])(x)
    f est injective donc ( f o f )(x) = id[small]E[/small](x)

    Donc ( f o f ) = id[small]E[/small]

    Soit y appartenant à E, comme id[small]E[/small] est surjective, il existe x appartenant à E tel que id[small]E[/small](x) = y <=> ( f o f )(x) = y
    ( f o f ) est surjective, donc f est surjective.

    2[small]ème[/small] cas : f surjective

    ( f o f o f ) = f <=> ( f o f ) o f = id[small]E[/small] o f

    g[small]1[/small] o f = g[small]2[/small] o f et f surjective. On a g[small]1[/small]=g[small]2[/small] :


    Soit f : de E dans F
    Soit g : de F dans G

    Soit y appartenant à F, il existe x appartenant à E tel que f(x) = y
    g[small]1[/small](y) = g[small]2[/small](y)
    <=> g[small]1[/small](f(x)) = g[small]2[/small](f(x))
    <=> ( g[small]1[/small] o f )(x) = ( g[small]2[/small] o f )(x)
    donc g[small]1[/small] = g[small]2[/small]

    f est surjective donc ( f o f )(x) = id[small]E[/small](x)

    Donc ( f o f ) = id[small]E[/small]

    Comme id[small]E[/small] est injective, ( f o f ) est injective, donc f est injective.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je ne comprends rien à tes démonstrations. Si tu rajoutes des 'on suppose' et des 'on veut montrer que', ce sera plus facile à lire.

    Tu écris $f \circ f$ est surjective donc $f$ est surjective. Ah bon ? Et ça sort d'où ?

    Tu écris $y \in E, g_1(y) = g_2(y)$ puis à la fin tu arrives à $g_1=g_2$ : n'est-ce pas ce que tu as supposé à la première ligne ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    @Hob_ : tu as vu l'idée, mais ta rédaction laisse beaucoup à désirer.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Pour l'injectivité implique la surjectivité, j'écris :
    On suppose $f$ injective. Pour tout $a \in E$, on sait que $f^{(3)}(a) = f(a)$ implique $f^{(2)}(a) = a.$ On pose $b = f(a) \in E$, alors, pour tout $a \in E$, il existe $b = f(a) \in E$ tel que $f(b) = a$ : c'est la définition de $f$ surjective.

    Pour la surjectivité implique l'injectivité, j'écris :
    On suppose $f$ surjective. On sait que $f \circ f$ est aussi surjective (on peut le démontrer). Pour tout $(u,v) \in E^2$, il existe donc $(a,b) \in E^2$ tels que $f^{(2)}(a) = u, f^{(2)}(b) = v$ ; et alors, pour tout $(u,v) \in E^2$, $f(u) = f(v)$ implique $f^{(3)}(a) = f^{(3)}(b) = f(a) = f(b)$ par définition de $f$, puis implique $f^{(2)}(a) = f^{(2)}(b)=u=v$ par composition par $f$ : c'est la définition de $f$ injective.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    1°) YvesM, ce n'est pas ton exercice, pourquoi te sens-tu obligé de le faire à la place de Hob_ ?
    2°) Tu te compliques inutilement la vie pour "surjectif entraîne injectif".
  • Hob___
    Hob___
    Bonjour, merci de m'aider en me corrigeant et en me faisant remarquer que ma rédaction n'est pas bonne. Je reprends donc.

    Soit E un ensemble et $f : E \rightarrow E$ telle que : $( f \circ f \circ f ) = f$ .
    On veut montrer que f est injective si, et seulement si, f est surjective.

    On suppose f injective

    $( f \circ f \circ f ) = f \Leftrightarrow f \circ ( f \circ f ) = f \circ id_E$


    On applique au cas présent : "$g \circ f_1 = g \circ f_2$ et g injective implique $ f_1 = f_2$"

    Soit x appartenant à E. On a $( f \circ ( f \circ f ) )(x) = ( f \circ id_E)(x)$
    f est injective donc $(f \circ f)(x) = id_E(x)$

    Donc $(f \circ f) = id_E$


    Comme $id_E(x)$ est surjective, $(f \circ f)$ est surjective.
    Soit $z\in E , \exists x \in E$ tel que $( f \circ f )(x)=z$
    $\Leftrightarrow ( f (f(x) )=z$
    $f(x) \in E$ donc en prenant $y=f(x)$, il existe $ y \in E$ tel que $f(y)=z$
    Donc f est surjective.


    On suppose f surjective

    $( f \circ f \circ f ) = f \Leftrightarrow ( f \circ f ) \circ f = id_E \circ f$


    On montre que : " $g_1 \circ f = g_2 \circ f $ et f surjective implique $g_1=g_2$"

    Soient $ f : E \rightarrow F$ et $g :F\rightarrow G$

    Soit $ y \in F, \exists x \in E$ tel que $f(x) = y$ donc
    $g_1(y) = g_2(y)$
    $\Leftrightarrow g_1(f(x)) = g_2(f(x))$
    $\Leftrightarrow ( g_1 \circ f )(x) = ( g_2 \circ f )(x)$
    donc si f est surjective $g_1 \circ f = g_2 \circ f \Leftrightarrow g_1=g_2$

    Dans le cas présent, comme f est surjective, on peut en déduire que $( f \circ f )(x) = id_E(x)$
    Donc $( f \circ f ) = id_E$

    Comme id[small]E[/small] est injective, ( f o f ) est injective.
    Soit $(x_1,x_2)\in E^2 , x_1\ne x_2$

    On a $( f \circ f )(x_1) \ne ( f \circ f )(x_2) \Leftrightarrow f ( f(x_1) )\ne f (f(x_2))$
    Or f est une application donc $f(x_1)\ne f(x_2)$
    Donc f est injective.

    Conclusion : on a bien montré que f est injective si, et seulement si, f est surjective.


    GaBuZoMeu
    J'ai écrit ce message sans avoir encore lu le corrigé de YvesM. J'ai mis un peu de temps à le rédiger car c'est la première fois que j'écris en LaTeX.
    J'espère que cette réponse sera bonne.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Quand tu écris :
    On montre que : $g_1 \circ f=g_2\circ f$ et $f$ surjective implique $g_1=g_2$
    Soient $f: E \mapsto F$ et $g: F\mapsto G$
    Soit $y\in F$,$\exists x\in E$ tel que $f(x)=y$ donc
    $g_1(y)=g_2(y)\iff g_1(f(x))=g_2(f(x)) \iff (g_1\circ f)(x)=(g_2\circ f)(x) $ donc si $f$ est surjective $g_1 \circ f=g_2\circ f \iff g_1=g_2$
    je ne comprends pas. C'est vrai que je ne comprends pas facilement...

    Je m'attends à ce que tu partes de $g_1 \circ f = g_2 \circ f$ et qui tu en déduises par implication $g_1=g_2.$ Est-ce trop demander ?

    Quand tu écris, regarde bien ton texte, : $g_1 = g_2 \implies g_1 \circ f = g_2 \circ f $ ET $f$ surjective, je me dis que c'est faux.

    Par ailleurs, quand tu écris 'soit $y \in F$' je comprends soit un $y$ dans $F$ et non pas 'pour tout $y$ dans $F$'. Donc à la fin, il te manque un 'comme ceci est vrai pour tout $y$ alors...'
  • Amadou
    Amadou
    Modifié (25 Feb)
    Salut ! J'étais en train de chercher des trucs sur mon exercice, et pour en savoir plus, j'ai décidé de faire des recherches sur le site pour voir (puisqu'il y a des vrais mathématiciens ici et tout ce qui est sur le forum est bon) si le sujet avait déjà été traité. Et je vois bien que c'était déjà le cas !
    GaBuZoMeu a dit :
    Les deux implications sont de la même difficulté.
    Le plus simple est sans doute de commencer par s'apercevoir que
    1°) Si $f$ est injective, alors $f$ est simplifiable à gauche ($f\circ g=f\circ h$ entraîne $g=h$).
    2°) Si $f$ est surjective, alors $f$ est simplifiable à droite ($g\circ f=h\circ f$ entraîne $g=h$).

    PS. Rien à voir avec l'arithmétique !
    L'introduction de $g$ et $h$ je ne parviens pas à comprendre, pouvez-vous me détailler un peu plus.
  • bisam
    bisam
    Modifié (25 Feb)
    Ce que propose @GaBuZoMeu , c'est une propriété un peu plus générale, qui devrait être connue (voire comprise comme étant évidente) en fin de L1 (ou Maths Sup, ou équivalent).
    Si $f$ est une application de $F$ dans $G$ et $H$ un ensemble alors on a les équivalences suivantes :
    1. $f$ est injective si et seulement si pour toutes applications $h_1$ et $h_2$ de $H$ dans $F$, $f\circ h_1=f\circ h_2 \Rightarrow h_1=h_2$
      (On peut donc dire que $f$ est injective si et seulement si $f$ est simplifiable à gauche).
    2. $f$ est surjective si et seulement si pour toutes applications $g_1$ et $g_2$ de $G$ dans $H$, $g_1\circ f = g_2 \circ f \Rightarrow g_1=g_2$
      (On peut donc dire que $f$ est surjective si et seulement si $f$ est simplifiable à droite).
    Avec ces propriétés, l'exercice demandé devient presque évident.
  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (25 Feb)
    Voici les détails :

    - Si $f:E\to F$ est injective alors pour tout ensemble $G$ et toutes fonctions $g,h:G\to E$, $f\circ g=f\circ h$ implique $g=h$. La réciproque est également vraie.

    - Si $f:E\to F$ est surjective alors pour tout ensemble $G$ et toutes fonctions $g,h:F\to G$, $g\circ f=h\circ f$ implique $g=h$. La réciproque est également vraie.

    Tu peux utiliser ces résultats pour résoudre d'une autre façon ton exercice 17 ICI.

    PS. je n'ai malheureusement pas vu que bisam avait déjà répondu...
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