Balade dans le jardin des simples

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre l'intérêt de l'exercice.

Pour des solutions de la forme $\displaystyle (x,y,1)$ on substitue $\displaystyle z=1$ dans le système pour obtenir : $\displaystyle x^2=2y+7a^2, y^2=2x+7a^2, 1=2xy+7a^2$ et par différence des deux premières on a $\displaystyle (y-x)(2+x+y) = 0.$
Pour $\displaystyle x=y=t$, on obtient $\displaystyle t^2=2t+7a^2, 1=2t^2+7a^2$ et on élimine $\displaystyle 7a^2$ pour obtenir $\displaystyle 3t^2-2t-1 = (3t+1)(t-1) = 0$ et on reporte pour trouver $\displaystyle (1,1,1)$ solution pour $\displaystyle a^2 = -1/7$ et $\displaystyle (-1/3, -1/3, 1)$ pour $\displaystyle a^2=1/9.$
Pour $\displaystyle y=-2-x$, on obtient $\displaystyle x^2=-2x+7a^2-4, 1=-2x^2-4x+7a^2$ et on élimine $\displaystyle 7a^2$ pour obtenir $\displaystyle x^2+2x-3 = (x+3)(x-1) = 0$ et on reporte pour trouver $\displaystyle (1,-3,1)$ et $\displaystyle (-3,1,1)$ pour $\displaystyle a^2=1.$

On vérifie les réciproques pour conclure à une équivalence.

Les valeurs recherchées sont donc $\displaystyle a \in \{\pm 1, \pm 1/3, \pm i/\sqrt{7} \}.$