Nombres algébriques
dans Algèbre
Bonjour,
Ceci est une question niveau L3.
Je cherche à démontrer que $x$, appartenant à une extension $L/K$, est algebrique sur $K$ si et seulement si $x^2$ l'est.
Un résultat du cours me donne l'implication, mais je n'arrive pas à faire la réciproque.
Pour l'instant j'ai exhibé un polynôme qui annule $x^2$ et j'essaie de le bidouiller pour en trouver un qui annule $x$ mais je sèche.
Je sais aussi que $x$ est algebrique si et seulement si $K[x]$ est de dimension finie mais je ne vois pas comment m'en servir.
Auriez vous des indications?
Merci
Ceci est une question niveau L3.
Je cherche à démontrer que $x$, appartenant à une extension $L/K$, est algebrique sur $K$ si et seulement si $x^2$ l'est.
Un résultat du cours me donne l'implication, mais je n'arrive pas à faire la réciproque.
Pour l'instant j'ai exhibé un polynôme qui annule $x^2$ et j'essaie de le bidouiller pour en trouver un qui annule $x$ mais je sèche.
Je sais aussi que $x$ est algebrique si et seulement si $K[x]$ est de dimension finie mais je ne vois pas comment m'en servir.
Auriez vous des indications?
Merci
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Réponses
Si réciproquement $x$ est algébrique, que penses-tu de la suite d'extensions $K\subset K(x^2) \subset K(x)$ ?
(en fait la deuxième phrase que je propose donne une solution pour les deux implications, mais il est important de voir l'autre méthode pour "$x^2$ algébrique implique $x$ algébrique")
C'est une composition de polynômes? Je ne sais pas si c'est un polynôme en $X$. Si c'en est un c'est gagné.
Et je ne connais pas la notation $K(x)$ malheureusement
Quant à $K(x)$, c'est le plus petit corps qui contient $K$ et $x$. C'est l'ensemble des fractions $P(x)/Q(x)$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes, avec $Q(x)\ne0$ (pourquoi ?). Si $x$ est algébrique, c'est simplement l'ensemble des $P(x)$ pour $P$ polynôme (pourquoi ?).