Idéal avec condition sur le quotient
Soit $K$ une extension finie de $\mathbb Q$ et soit $N = \prod_{i=1}^{r} p_i^{e_i} >1$ un entier et sa décomposition en produit de facteurs premiers.
Je souhaite déterminer des conditions (nécessaires et/ou suffisantes) sur $N$ de sorte à pourvoir trouver un ideal $I \subset \mathcal O_K$ vérifiant $\mathcal O_K / I \cong \Bbb Z / N \Bbb Z$ (en tant qu'anneaux).
Pour tout $1 \leq i \leq r$, soit $P_i$ un idéal premier de $\mathcal O_K$ au-dessus de $p_i$. Si l'indice d'inertie de $P_i$ sur $p_i$ vaut $1$, alors $\mathcal O_K / P_i^{e_i}$ est de cardinal $p_i^{e_i}$.
Mais il n'est a priori pas possible de conclure que le morphisme naturel
$$ \Bbb Z / p_i^{e_i} \Bbb Z \to \mathcal O_K / P_i^{e_i} $$
est injectif (donc est un isomorphisme). Typiquement si $p_i \mathcal O_K = P_i^2$ et $[K : \mathbb Q] = 2$, alors $P_i^2 \cap \mathbb Z = p_i \mathbb Z \neq p_i^{2} \Bbb Z$.
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Je souhaite déterminer des conditions (nécessaires et/ou suffisantes) sur $N$ de sorte à pourvoir trouver un ideal $I \subset \mathcal O_K$ vérifiant $\mathcal O_K / I \cong \Bbb Z / N \Bbb Z$ (en tant qu'anneaux).
Pour tout $1 \leq i \leq r$, soit $P_i$ un idéal premier de $\mathcal O_K$ au-dessus de $p_i$. Si l'indice d'inertie de $P_i$ sur $p_i$ vaut $1$, alors $\mathcal O_K / P_i^{e_i}$ est de cardinal $p_i^{e_i}$.
Mais il n'est a priori pas possible de conclure que le morphisme naturel
$$ \Bbb Z / p_i^{e_i} \Bbb Z \to \mathcal O_K / P_i^{e_i} $$
est injectif (donc est un isomorphisme). Typiquement si $p_i \mathcal O_K = P_i^2$ et $[K : \mathbb Q] = 2$, alors $P_i^2 \cap \mathbb Z = p_i \mathbb Z \neq p_i^{2} \Bbb Z$.
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
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Réponses
On suppose qu'il existe un idéal $\mathfrak{p}$ tel que $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p} \cong \mathbf{F}_{p}$.
Je suppose pour simplifier que $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\alpha]$ est monogène. Donc $f$ le polynôme minimal de $\alpha$ a une racine $\gamma$ modulo $p$ et $\mathfrak{p} = (p,\alpha-\gamma)$. Il faut alors invoquer le lemme d'Hensel pour avoir une condition telle que $f$ a une racine $\beta$ modulo $ p^e$ ce qui donne que $\mathcal{O}_K/(p^e,\alpha-\beta) \cong \mathbb{Z}/p^e \mathbb{Z}$.
Quand $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha_1,\ldots,\alpha_n]$ c'est plus compliqué car il ne faut pas simplement que chaque polynôme minimal ait une racine $\bmod \,p$ mais aussi qu'elles soient compatibles entre elles, ce que garantit le fait qu'il existe un idéal $\mathfrak{p}$ tel que $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p} \cong \mathbf{F}_{p}$. Et à nouveau il faut invoquer Hensel pour lifter ces racines en $\beta_1,\ldots,\beta_n$ modulo $p^e$ et donc construire un idéal $J = (p^e,\alpha_1-\beta_1,\ldots,\alpha_n-\beta_n)$ tel que $\mathcal{O}_K/J \cong \mathbb{Z}/p^e \mathbb{Z}$.
Finalement le lemme d'Hensel sur les polynômes minimaux devrait être directement lié à la ramification de $p$ dans $\mathcal{O}_K$.
1) Votre idée semble montrer que si $p = p_i$ est inerte dans $K$, alors pour tout $e \geq 1$, il existe un idéal $J = J_e(p) \subset \mathcal O_K$ tel que $\mathcal O_K / J \cong \Bbb Z /p^e \Bbb Z$. Les idéaux $J_e(p)$ et $J_e(q)$ sont premier entre eux lorsque $p \neq q$ sont deux facteurs distincts de $N$, inertes dans $K$ (car ils sont respectivement au-dessus de $p$ et de $q$, ou encore $\mathcal O_K$ est de dimension $1$). Une condition suffisante serait donc que tous les facteurs premiers de $N$ soient inertes dans $K$ (disons sous l'hypothèse que $\mathcal O_K$ est monogène). Est-ce bien correct ?
2) Je ne suis pas certain d'avoir saisi l'argument avec le lemme d'Hensel pour obtenir une racine $\beta$ de $f$ modulo $p^e$ ; ne faudrait-il pas que la réduction de $f$ modulo $p$ soit séparable (ou du moins que $\gamma
$ en soit une racine simple) ?
3) Il me semble qu'une autre condition suffisante est que tous les facteurs premiers de $N$ soient totalement décomposés dans $K$. Qu'en pensez-vous ?
On factorise $f(x) = \prod_{i=1}^m f_i(x)^{d_i}$ dans $\overline{\mathbf{F}_p}$ et donc $p\mathcal{O}_K = \prod_{i=1}^m \mathfrak{p}_i^{d_i}$ où $\mathfrak{p}_i = (p,f_i(\alpha))$.
Si $\mathcal{O}_K/J \cong \mathbb{Z}/(p^e)$ alors $J = (p^e,\alpha-\beta_j)$ où $\beta_j$ est une racine de $f$ dans $\mathbb{Z}/(p^e)$. Dans ce cas $\beta_j \equiv \gamma_j \bmod p$ est une racine de $f$ dans $\mathbb{Z}/(p)$ et $f_j(x) = x-\gamma_j$ donc avec $\mathfrak{p}_j = (p,\alpha-\gamma_j)$ on a $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}_j \cong \mathbf{F}_p$. On suppose donc qu'il existe une telle racine $\gamma_j$ et idéal $\mathfrak{p}_j$.
Ssi $d_j = 1$ (le degré de ramification de $\mathfrak{p}_j$) alors $f'(\gamma_j) \ne 0$ et donc pour tout $e$ le lemme d'Hensel permet de lifter $\gamma_j$ en $\beta_j $ une racine de $f$ dans $\mathbb{Z}/(p^e)$ et donc $\mathcal{O}_K/(p^e,\alpha-\beta_j) \cong \mathbb{Z}/(p^e)$.
Si $d_j > 1$ ça devrait impliquer que certains $e$ ne marcheront pas. Enfin si $K/\mathbb{Q}$ est Galois alors $d_j$ et $[\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}_j : \mathbf{F}_p]$ ne dépendent pas de $j$, donc regarder $\mathfrak{p}_1,\gamma_1$ suffit et la condition nécessaire et suffisante pour que ça marche pour tous les $e$ c'est que $p$ soit totalement décomposé.
Plus précisément, on peut établir la condition suffisante suivante qui répond à ma question. Il n'est ni nécessaire d'invoquer le lemme d'Hensel, ni de supposer la monogénéité de l'anneau d'entiers de $K$.
Proposition :
Si tous les facteurs premiers $p_i$ de $N$ sont totalement décomposés dans $K$, alors il existe un idéal $I \subset O_K$ tel que $O_K / I \cong \Bbb Z / N \Bbb Z$ en tant qu'anneaux.
Démonstration :
Par le théorème des restes chinois, on peut supposer que $N = p^e$ avec $p$ premier et $e \geq 1$. Soit $P \subset O_K$ un premier au-dessus de $p$. On affirme que l'application naturelle $\phi : \Bbb Z \to O_K / P^e$ induit un isomorphisme d'anneaux $O_K / P^e \cong \Bbb Z / N \Bbb Z$, comme désiré.
Puisque le cardinal de $O_K / P^e$ vaut $p^e = N$ (l'indice d'inertie de $P$ sur $p$ valant $1$), il suffit de montrer que le noyau de $\phi$ vaut $N\Bbb Z$.
Or, $\ker(\phi) = \Bbb Z \cap P^e = \{x \in \Bbb Z : v_P(x) \geq e\}$ et la restriction de la valuation $P$-adique $v_P : K \to \Bbb Z$ à $\Bbb Q$ vaut $v_p$ (l'indice de ramification de $P$ sur $p$ valant $1$), de sorte que
$$\ker(\phi) = \{x \in \Bbb Z : v_P(x) \geq e\} = \{x \in \Bbb Z : v_p(x) \geq e\} = p^e \Bbb Z = N \Bbb Z,$$ comme voulu.
Je pense que la condition est complexe à maîtriser dans le sens où trouver les $p$ totalement décomposés dans un corps de nombre ce n'est pas un problème facile.
Au départ l'indice de ramification c'est la multiplicité de $P$ dans la factorisation de $p \mathcal{O}_K$.
Et tu peux écrire $\mathcal{O}_K$ comme une tour d'anneaux monogènes, pour lesquels ce que j'ai écrit reste vrai.
oui, cette affirmation est la « clé » du problème et aurait pu mériter un peu plus d'attention. Mais la reformulation en termes de valuation me semble bien plus facile à maîtriser (typiquement je ne vois nullement en quoi les questions de monogénéité devraient intervenir ici).
En effet, on a $v_P(x) = \max\{n \in \N : x \in P^n\}$ pour tout $x \in O_K$, ainsi que $v_p(x) = \max\{n \in \N : x \in (p^n)\}$ pour tout $x \in \Bbb Z$.
On écrit $pO_K = \prod_{j=1}^r P_j^{e(P_j/p)}$ avec $P=P_1$. Soit $x = p^s k \in \Bbb Z$, avec $s \geq 0$ et $k$ premier avec $p$. Alors :
$$v_P(x) = s \cdot v_P(p) + v_P(k) = s \cdot e(P/p) + 0$$
car si $v_P(k) > 0$ alors $k \in P^{v_P(k)} \cap \Bbb Z \subset P \cap \Bbb Z = (p)$, ce qui est impossible par hypothèse ; et par ailleurs on sait que $e(P/p) = v_P(p)$, quasiment par définition (rappelons que $O_K$ est de Dedekind...).
Dès lors, on en déduit que $v_P(x) = v_p(p^s k) e(P/p) = e(P/p) v_p(x)$, comme désiré.