Matrices à diagonale strictement dominante
Les matrices à diagonales strictement dominante sont inversibles et on connaît presque tous la même preuve par l'absurde.
Je lance alors la question de montrer ce résultat autrement.
Mes premières idées étaient de penser à faire une récurrence, le problème est que les opérations élémentaires ne conservent pas nécessairement le caractère diagonale strictement dominante (ou des moins mes essais n'ont pas abouti à le prouver).
Je lance alors la question de montrer ce résultat autrement.
Mes premières idées étaient de penser à faire une récurrence, le problème est que les opérations élémentaires ne conservent pas nécessairement le caractère diagonale strictement dominante (ou des moins mes essais n'ont pas abouti à le prouver).
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Réponses
C'est un développement possible à l'agrégation interne qui fait intervenir le choix d'une "bonne" norme matricielle.
On démontre donc qu'une telle matrice est inversible, et on fournit un algorithme d'approximation.
\[\begin{pmatrix}
1 & 2/3\\
2/3 & 1
\end{pmatrix}\text{.}\]
La première étape du pivot de Gauss consiste à faire, pour $i>1$
$$b_{i,j}=a_{i,j}- \frac{a_{i,1}}{a_{1,1}} a_{1,j}\;.$$
Si on part d'une matrice à diagonale dominante, c.-à-d. qui vérifie pour tout $i$
$$\sum_{j\neq i} |a_{i,j}| < |a_{i,i}|\;,$$
alors
$$\begin{align} |b_{i,i}| &= \left|a_{i,i}- \frac{a_{i,1}}{a_{1,1}} a_{1,i}\right| \\
& > |a_{i,1}|+ \sum_{j\neq 1,i} |a_{i,j}| - \frac{|a_{i,1}|}{|a_{1,1}|}\left(|a_{1,1}|- \sum_{j\neq 1,i} |a_{1,j}| \right)\\
&> \sum_{j\neq 1,i}\left( |a_{i,j}| + \frac{|a_{i,1}|}{|a_{1,1}|} |a_{1,j}| \right)\\
&> \sum_{j\neq 1,i} |b_{i,j}|\;.\end{align}$$