Matrices à diagonale strictement dominante

Oui mais l'exemple que tu donnes ne peut pas se produire lorsqu'on échelonne une matrice ! [Edit : je répondais à mustapha]

On s'en sort avec le théorème du point fixe (Picard). On appelle cela (je crois) la méthode de Jacobi.
C'est un développement possible à l'agrégation interne qui fait intervenir le choix d'une "bonne" norme matricielle.
On démontre donc qu'une telle matrice est inversible, et on fournit un algorithme d'approximation.

Je pense qu'il faut que l'on s'entende dès le départ sur le sens de "à diagonale strictement dominante". La définition de Wikipédia est "le module de chaque terme diagonal est [edit] strictement [/edit] supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne". Auquel cas il ne me semble pas que ton contre-exemple en soit un.

@Dom : les ravages du copier-coller sans regarder. J'ai corrigé.

Écris les choses, tout s'emboîte comme il faut. (Pour simplifier on peut supposer $a_{i,i} = 1$.)

Et mon Jacobi ? Bon il faut que je retrouve ma paperasse...

Ça traîne en longueur. Comme dit depuis le début, il suffit d'écrire les choses !
La première étape du pivot de Gauss consiste à faire, pour $i>1$
$$b_{i,j}=a_{i,j}- \frac{a_{i,1}}{a_{1,1}} a_{1,j}\;.$$
Si on part d'une matrice à diagonale dominante, c.-à-d. qui vérifie pour tout $i$
$$\sum_{j\neq i} |a_{i,j}| < |a_{i,i}|\;,$$
alors
$$\begin{align} |b_{i,i}| &= \left|a_{i,i}- \frac{a_{i,1}}{a_{1,1}} a_{1,i}\right| \\
& > |a_{i,1}|+ \sum_{j\neq 1,i} |a_{i,j}| - \frac{|a_{i,1}|}{|a_{1,1}|}\left(|a_{1,1}|- \sum_{j\neq 1,i} |a_{1,j}| \right)\\
&> \sum_{j\neq 1,i}\left( |a_{i,j}| + \frac{|a_{i,1}|}{|a_{1,1}|} |a_{1,j}| \right)\\
&> \sum_{j\neq 1,i} |b_{i,j}|\;.\end{align}$$