Identité de Boutin

Bonjour , je me permets de vous écrire à propos de cette identité :
$$\sum_{2^{n-1}}\pm(\pm x_1\pm x_2\pm\cdots\pm x_n)^n=n!2^{n-1}x_1\cdots x_n$$
Ou le signe extérieur est le produit des $n$ signes intérieurs et les $x_i$ sont réels .
Voilà ce que j'ai fait (pour $n=2k+1$):
Avant toute chose je fait une remarque :
On peut réécrire l'inégalité ainsi car on travail avec $n=2k+1$ :
$$\sum_{2^{n-1}}(\pm x_1\pm x_2\pm\cdots\pm x_n)^n=n!2^{n-1}x_1\cdots x_n$$
Si on fait un changement de variable comme cela :
$A_i=\pm x_1\pm x_2\pm\cdots\pm x_n$ pour $i$ un entier avec $i>0$ et dépendant du signe des $x_i$
Nous remarquons cela (on peut s'en convaincre avec $n=3$ ):
$$\sum_{i=1}^{2^{n-1}}A_i=0$$
Si on note les $n+1$ premiers $A_i$ comme cela :
$A_1=x_1+ x_2+\cdots+x_n$
$A_2=-x_1+ x_2+\cdots+ x_n$
$A_3=x_1-x_2+\cdots+x_n$
$\vdots$
$A_{n+1}=x_1+x_2+\cdots-x_n$
On obtient :
$$\sum_{i=1}^{2^{n-1}}A_i^n=n!2^{n-1}\prod_{i=2}^{n+1}{\frac{A_1-A_i}{2}}$$
Le côté droit de l'égalité est semblable à ceci :
$$n!2^{n-1}\prod_{i=2}^{n+1}{\frac{X-A_i}{2}}$$
Ce qui m'as fait penser à utiliser les identités de Newton mais je bloque .
Un coup de main de votre part chères algébristes serait excellent !
Ps :faites un tour ici si vous ne comprenez pas la formule https://sites.google.com/site/tpiezas/001a
Cordialement .