Je me posais une question : comment (ou quand) sait-on que l'on connaît un groupe? Dans ses moindres détails je veux dire. Au fond, qu'est-ce que cela signifie vraiment, connaître un groupe?
Liste non exhaustive de ce que peut vouloir dire l'expression "connaître un groupe":
0) Le groupe considéré est isomorphe à un groupe qu'on connait.
1) On peut écrire explicitement sa table de composition.
2) Le groupe considéré est fabriqué à partir d'autres groupes qu'on connait par des procédés comme le produit cartésien, produit semi-direct...
Le groupe considéré est isomorphe à un groupe qu'on connait
N'est-ce pas tourner en rond? Je peux préciser ma question. Par exemple, qu'est-ce que connaître $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$? Connaître ses éléments? Ses générateurs ? Savoir résoudre des équations du type $x^n=1$? Pour cette dernière question j'utilise le fait qu'il soit aussi un anneau mais bon.
Connaître ses sous-groupes? Ses sous-groupes distingués? Qu'est-ce que décrire un groupe au final ?
Bah tout ça, un peu plus ou un peu moins. Ce n'est pas une notion précise, je ne sais pas ce que tu attends comme réponse.
Comme on connaît toutes ces choses pour les groupes cycliques et les groupes diédraux par exemple, on peut certainement dire qu'on les "connaît bien".
NB : étudier l'équation $x^n=1$ dans $\mathbb Z/k \mathbb Z$ sort du cadre de la théorie des groupes, ce n'est ni une question qui concerne la structure de groupe de $(\mathbb Z/k \mathbb Z, +)$ ni qui fasse fondamentalement intervenir sa structure.
C'est une question très intéressante, que je m'étais également posée il n'y a pas très longtemps. Une réponse possible passe par la théorie des catégorie : comprendre un groupe $G$, c'est connaître tous les morphismes $G \to H$ et $H \to G$ pour n'importe quel groupe $H$.
Evidemment, cela implique également de connaître un petit peu tous les groupes. Par exemple, connaître $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, c'est connaître tous les éléments d'ordre deux et tous les quotients cycliques d'ordre deux de n'importe quel groupe. Autrement dit, le seul groupe que l'on connaît complètement est le groupe trivial. Face à cette impossibilité, on peut introduire des propriétés plus faciles à étudier. Par exemple, au lieu d'étudier tous les quotients d'un groupe particulier, on peut se demander s'il a des quotients non triviaux (est-il simple ?), ou s'il a "beaucoup" de quotients finis (est-il résiduellement fini ?), ou s'il a "beaucoup" de quotients (est-il SQ-universel ?), etc.
Remarque préliminaire due à Gromov : il n'y a pas de théorème non trivial qui porte sur « les groupes ». La classe est trop vaste et trop diverse pour qu'il y ait quelque chose d'uniforme à dire. Il faut donc se restreindre à des sous-classes, en général en enrichissant la structure : groupes finis, groupes abéliens, groupes topologiques, groupes de Lie, groupes $p$-adiques, groupes algébriques, groupes de type fini, groupes fondamentaux, groupes profinis, groupes hyperboliques, groupes finis de type de Lie, etc.
Une sous-question de celle que pose Seirios, ce serait : étant donné $G$, quels sont ses sous-groupes $H$ ? et étant donné $H$, dans quels $G$ est-ce que $H$ se plonge ? Voici une question plus spécifique mais pas complètement résolue : quels sont les sous-groupes finis d'un groupe de Lie compact donné ? Voir cet exposé de Jean-Pierre Serre.
@ Fin de partie : et $(\mathbb{Z}/840\mathbb{Z},+)$ n'est pas isomorphe à $(\mathbb{Z}/28\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/30\mathbb{Z},+)$
Je pensais à priori que ma question était trop vaste, vos réponses m'en ont convaincu Une dernière : existe-t'il quelque chose que l'on ne sait pas sur les $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$?
@Seirios : peut-être mais quand même, ce n'est pas si évident pour autant :
la géométrie euclidienne, la géométrie projective commencent plutôt par des axiomes d'incidence ou des axiomes structurels ; le programe d'Erlangen ne fait pas un si grand cas de la distance non plus ;
On n'a pas d'algorithme efficace pour décomposer en un produit direct de groupes cycliques plus simples tous les groupes de la forme $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$
@Math Coss: C'est vrai que, si cela paraît essentiellement évident aujourd'hui, historiquement je ne sais pas comment cela c'est passé. C'est une question intéressante. Le développement des espaces CAT(k) montre que se concentrer sur la notion de distance est antérieur à Gromov. Mais sans doute Gromov a-t-il contribué à populariser ce point de vue, je ne sais pas en quelle mesure. La théorie géométrique des groupes est effectivement un indice dans cette direction.
Réponses
0) Le groupe considéré est isomorphe à un groupe qu'on connait.
1) On peut écrire explicitement sa table de composition.
2) Le groupe considéré est fabriqué à partir d'autres groupes qu'on connait par des procédés comme le produit cartésien, produit semi-direct...
N'est-ce pas tourner en rond? Je peux préciser ma question. Par exemple, qu'est-ce que connaître $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$? Connaître ses éléments? Ses générateurs ? Savoir résoudre des équations du type $x^n=1$? Pour cette dernière question j'utilise le fait qu'il soit aussi un anneau mais bon.
Connaître ses sous-groupes? Ses sous-groupes distingués? Qu'est-ce que décrire un groupe au final ?
Veuillez m'excuser pour toutes ces questions ^^
Comme on connaît toutes ces choses pour les groupes cycliques et les groupes diédraux par exemple, on peut certainement dire qu'on les "connaît bien".
NB : étudier l'équation $x^n=1$ dans $\mathbb Z/k \mathbb Z$ sort du cadre de la théorie des groupes, ce n'est ni une question qui concerne la structure de groupe de $(\mathbb Z/k \mathbb Z, +)$ ni qui fasse fondamentalement intervenir sa structure.
C'est une question très intéressante, que je m'étais également posée il n'y a pas très longtemps. Une réponse possible passe par la théorie des catégorie : comprendre un groupe $G$, c'est connaître tous les morphismes $G \to H$ et $H \to G$ pour n'importe quel groupe $H$.
Evidemment, cela implique également de connaître un petit peu tous les groupes. Par exemple, connaître $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, c'est connaître tous les éléments d'ordre deux et tous les quotients cycliques d'ordre deux de n'importe quel groupe. Autrement dit, le seul groupe que l'on connaît complètement est le groupe trivial. Face à cette impossibilité, on peut introduire des propriétés plus faciles à étudier. Par exemple, au lieu d'étudier tous les quotients d'un groupe particulier, on peut se demander s'il a des quotients non triviaux (est-il simple ?), ou s'il a "beaucoup" de quotients finis (est-il résiduellement fini ?), ou s'il a "beaucoup" de quotients (est-il SQ-universel ?), etc.
$\left(\mathbb{Z}/899\mathbb{Z},+\right)$ est isomorphe à $\left(\mathbb{Z}/29\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/31\mathbb{Z},+\right)$
Réponse ad hoc : on estime qu'on connaît un groupe fini quand on connaît toutes les informations consignées dans un des atlas élaborés avec beaucoup d'efforts par les spécialistes : l'ATLAS ou l'atlas des représentations des groupes finis ou l'atlas des groupes de Lie et représentations (le site).
Une sous-question de celle que pose Seirios, ce serait : étant donné $G$, quels sont ses sous-groupes $H$ ? et étant donné $H$, dans quels $G$ est-ce que $H$ se plonge ? Voici une question plus spécifique mais pas complètement résolue : quels sont les sous-groupes finis d'un groupe de Lie compact donné ? Voir cet exposé de Jean-Pierre Serre.
Une autre « citation » de Gromov, que j'ai entendue de la bouche de Jean-Pierre Demailly : en géométrie, l'objet fondamental, c'est la distance.
@ Fin de partie : et $(\mathbb{Z}/840\mathbb{Z},+)$ n'est pas isomorphe à $(\mathbb{Z}/28\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/30\mathbb{Z},+)$
Je pensais à priori que ma question était trop vaste, vos réponses m'en ont convaincu Une dernière : existe-t'il quelque chose que l'on ne sait pas sur les $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$?
@Light*: Tu peux jeter un coup d’œil sur cette discussion, où certains problèmes ouverts concernant le groupe trivial (!) sont mentionnés.
La deuxième partie de ton précédent post m'a fait penser à ``Some presentations of the trivial group'' de Miller & Schupp in http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.92.6715&rep=rep1&type=pdf
On n'a pas d'algorithme efficace pour décomposer en un produit direct de groupes cycliques plus simples tous les groupes de la forme $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$