Produit

filuvuyami
filuvuyami
dans Algèbre
Bonjour,

Je souhaiterais trouver si elle existe une écriture simplifiée pour le produit suivant $\prod_{k=1}^{n}(k+n)$ je n'ai pas idée de comment commencer ...
Merci (:P)

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Tu peux chercher à te ramener à des factorielles ;-)
  • filuvuyami
    filuvuyami
    Oui j'ai essayé mais je tourne un peu en rond :

    $\prod_{k=1}^{n}(n+k) = \prod_{k=1}^{n} k(1+\frac{n}{k}) = n! × \prod_{k=1}^{n}\frac{k+n}{k}$
    Et après ? :-S
  • Poirot
    Poirot
    Cherche plutôt du côté d'un rapport de factorielles. Quel est le facteur le plus grand dans ton produit ? Comment le compléter pour obtenir une vraie factorielle ?
  • filuvuyami
    filuvuyami
    Effectivement le plus grand terme est 2n et en voyant le produit dans l'autre sens on a (2n)×(2n-1)(2n-2) ... J'aurai donc envie de dire que mon produit fait 2n! Or je conjecture plutôt (2n-1)! :/
  • Poirot
    Poirot
    Ton produit s'écrit $(n+1) \times (n+2) \times \dots (2n-1) \times (2n),$ que manque-t-il pour avoir $(2n)!$ ?
  • filuvuyami
    filuvuyami
    Ah ! Il manque $n(n-1)(n-2)..1$ n'est ce pas ? Soit $n!$.
    Donc le produit est en fait $\dfrac{2n!}{n!}$ ?
  • Poirot
    Poirot
    Exact :-)
  • AD
    AD
    Euh ... Il y a quand même un problème de parenthèses !
    Le résultat est $\quad\dfrac{(2n)!}{n!}\ $ et pas $\quad\dfrac{2n!}{n!}=2$.
    Alain
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