somme d'endomorphismes

Yann Le Gac
Yann Le Gac
dans Algèbre
Bonjour.

J'ai deux endomorphismes $u$ et $v$ sur $E$ de dimension finie tels que $\text{ker}(u) \cap \text{ker}(v) = \left\lbrace \vec{0} \right\rbrace $. Je voudrais montrer que $u+v$ est un isomorphisme de $E$. Je regarde le noyau mais sans succès...

Merci!

Réponses

  • Bbidule
    Bbidule
    Bonjour,

    que dire si $u=id_{E}$ et $v=-id_{E}$ ... ?

    Bien cordialement,
  • Apsofidu
    Apsofidu
    Un contre-exemple : $$
    \begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & -1
    \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad
    \begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 1
    \end{pmatrix}
    $$ Ou encore : la somme de deux isomorphismes n'est pas nécessairement un isomorphisme.
  • Yann Le Gac
    Yann Le Gac
    Oui effectivement c'est bizarre... Il faut que modifie l'énoncé.

    Merci!
  • Math Coss
    Math Coss
    Voici une question (classique ?) « à l'envers » : montrer que tout endomorphisme est la somme de deux automorphismes.
  • Yann Le Gac
    Yann Le Gac
    Non alors ce qu'il faut montrer est plutôt si $u$ et $v$ commutent avec l'intersection des noyaux réduites à $\vec{0}$ alors il existe $a$ et $b$ tel que $au+bv$ est inversible (on se place en dimension finie)
  • Bbidule
    Bbidule
    Rebonjour,

    $E$ est un $k$-espace vectoriel avec $k$ de caractéristique nulle ?

    Bien cordialement,
  • Bbidule
    Bbidule
    si $k = \mathbb{C}$ pour simplifier:
    un plan de travail possible:
    - comme $u$ et $v$ commutent, tu peux les trigonaliser simultanément.
    - comme les noyaux de $u$ et de $v$ s'intersectent trivialement, tu montres facilement que les éventuels $0$ apparaissant sur la diagonale de $Mat(u)$ ne sont pas en face des éventuels $0$ apparaissant sur la diagonale de $Mat(v)$
    - tu créés sans trop de problème à partir de là une diagonale formée de coefficients tous non nuls comme combinaison linéaire des diagonales de $Mat(u)$ et $Mat(v)$
    - tu conclus.

    la démarche précédente peut se généraliser immédiatement à tout corps $k$ algébriquement clos de caractéristique nulle
  • Yann Le Gac
    Yann Le Gac
    Re
    Merci Bbibule pour ton plan, il est très clair.

    J'ai un petit souci pour le non alignement des $0$... Il faut parler d'un noyau itéré et je cherche à bien identifier ce qu'il se passe.

    ... et je cherche à éviter la trigonalisation !
    A priori on travaille sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
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