Matrice inversible

Yann Le Gac
Yann Le Gac
dans Algèbre
Bonjour.

Je cherche à montrer que si une matrice $M$ vérifie $pM^{p+1} = (p+1)M^p$ pour un certain $p$, alors $I-M$ est inversible. Je cherche même l'inverse à l'instar du cas de la nilpotence mais rien n'y fait...

Une idée?

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,


    Une idée...
    Avec $p=1$, on trouve $M^2 = 0$. Avec $A=I-M$ on élève au carré et alors $A^2-2A+I=0$ et donc $x^2-2x+1=(x-1)^2 = 0$ et donc seul $1$ est valeur propre : $A$ est inversible.

    Pour le cas $p$, peux-tu t'inspirer sachant que tout polynôme en $A$ est de degré $\leq p$...
  • Bbidule
    Bbidule
    Rebonjour,

    - Trigonaliser $M$ sur $\C$.
    - $pM^{p+1} - (p+1)M^p$ est également trigonalisable sur $\C$ et ses coefficients diagonaux sont les $p\lambda^{p+1} - (p+1)\lambda^p$ avec $\lambda$ dans le spectre de $M$
    - Par hypothèse, $pM^{p+1} - (p+1)M^p$ est la matrice nulle.
    Donc, $p\lambda^{p+1} = (p+1)\lambda^p$ pour tout $\lambda$ dans le spectre de $M$
    - par l'absurde, si $1$ valeur propre de $M$, alors $p=(p+1)$ et donc $0=1$: contradiction
    - donc $1$ n'est pas valeur propre de $M$, et donc $I-M$ est inversible.

    Bien cordialement,
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    J'ai trouvé une solution élégante. La voici sous forme d'indication.

    Indication 1 : Ecrire la matrice inverse, c'est-à-dire la construire explicitement : trouver une matrice $B$ telle que $(I-M)B = I.$ On écrira la condition sous la forme $pM^{p+1} - (p+1]M^{p} = 0.$

    Indication 2 : Considérer la matrice $I+M+M^2 + \cdots + M^k$ pour des $k$ bien choisis.
  • Siméon
    Siméon
    Travailles-tu en dimension finie Yann ? Si c'est le cas, il suffit de montrer que $X \mapsto (I-M)X$ est injective.
  • Yann Le Gac
    Yann Le Gac
    Avec les valeurs propres ça marche! Mais je ne voulais pas les utiliser au début...

    Les seules valeurs propres possibles sont $0$ et $\dfrac{p}{p+1} $ donc $1$ n'est pas valeur propre...
  • Bbidule
    Bbidule
    Bonjour Siméon ;)

    Rebonjour Yann le Gac,
    Effectivement, sans passer la trigonalisation - je me suis laissé influencé par le topic précédent:) , et en utilisant le polynôme annulateur $pX^{p+1} - (p+1)X^p$ de $M$, on montre que le spectre de $M$ est inclus dans $\{0;\displaystyle\frac{p+1}{p}\}$ et donc a fortiori dans $\R\setminus\{1\}$, ce qui répond directement à la question.

    Sinon, la démarche que t'invite à suivre Siméon te permet d'éviter d'avoir à considérer des valeurs propres...
  • claude quitté
    claude quitté
    Je pense avoir compris ce que suggérait Yves M.

     
    > (1-M)*(1+M - 2*M^2) - 1 ;            
2*M^3 - 3*M^2  // p = 2
> (1-M) * (1+M+M^2 - 3*M^3) - 1 ;
3*M^4 - 4*M^3  // p = 3
> 
> p := 7 ;   // nombre quelconque                    
> S := &+[M^i : i in [0..p-1]] ;
> S ;
M^6 + M^5 + M^4 + M^3 + M^2 + M + 1
> (1-M) * (S - p*M^p) - 1 ;
7*M^8 - 8*M^7
> p*M^(p+1) - (p+1)*M^p ;
7*M^8 - 8*M^7

    C'est la solution que je préfère car elle a d'une part un caractère universel (matrices à coefficients dans un anneau commutatif quelconque) et $M$ peut d'ailleurs être un élément d'un anneau non nécessairement commutatif ; et d'autre part, elle exhibe l'inverse. Merci à toi Yves M. Par ailleurs, il a bien fallu que l'auteur (malicieux ?) de l'exercice fasse quelque chose (on ne se lève pas au petit matin en disant : tiens, je vais supposer $pM^{p+1} = (p+1)M^p$ et voir si $1-M$ est inversible).
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Ma solution donne l'inverse. On écrit $(I-M)(I+M + \cdots + M^k) = I-M^{k+1}, k \geq 0.$ Pour $k=p$, on a $(I-M)(I+M + \cdots + M^p) = I-M^{p+1}$ pour $k=p-1, p \geq 1$, on a $(I-M)(I+M + \cdots + M^{p-1}) = I-M^{p}.$
    On multiplie la première égalité par $p$ et la seconde par $p+1$ et on retranche à première à la seconde pour obtenir : $(I-M)(I+M+ M^2 + \cdots + M^{p-1} - pM^p) = I-(pM^{p+1} - (p+1)M^p) = I.$
    On a montré que $I-M$ est inversible et que son inverse est $I+M+ M^2 + \cdots + M^{p-1} - pM^p.$

    Par exemple pour $p=1$, on a $I-M$ inverse de $I-M$ puisque $(I-M)^2 = I-2M+M^2 = I$ d'après la condition $2M=M^2.$
  • claude quitté
    claude quitté
    @Yves M
    Oui, c'est ce que j'ai essayé de dire à ma manière (en te citant) dans le post qui précède le tien.

    Mais les auteurs des exercices, quelqu'un y pense ? Que vont-ils pouvoir inventer le matin après le café ? C'est bien cela le problème (on ne pense pas assez aux auteurs, absorbés par la recherche d'une solution).

     
    > p := 9 ;                      
> S := &+[M^k : k in [0..p-1]] ;
> S ;
M^8 + M^7 + M^6 + M^5 + M^4 + M^3 + M^2 + M + 1
> (1 - M) * (S - M^p) - 1 ;     
M^10 - 2*M^9

    Ben, en voilà un : si $M^{p+1} = 2M^p$, alors $1-M$ est inversible. Dans le même style, on va pouvoir en générer un certain nombre. Intéressants ? Euh.
  • AP
    AP
    Bonjour
    en fait si $M$ a pour polynôme annulateur un polynôme $P$ tel que $P(1) \neq 0$
    alors $I-M$ est inversible, la formule générale de l'inverse s'obtenant à partir de la méthode donnée par YvesM :

    Par exemple si
    $4M^3-4M^2+2M+3I=0$ (ici $P(1)=5$)
    l'inverse de $I-M$
    est
    $(1/5)(2U_1-4U_2+4U_3)$ où $U_i=I+M+M^2+...+M^{i-1}$
    soit $(1/5)(2I+4M^2)$
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je dirais même plus, en enfonçant les portes ouvertes. Soit $M$ une matrice carrée, $P$ et $Q$ deux polynômes premiers entre eux, $UP+VQ=1$ une identité de Bézout qui le certifie. Si $P(M)=0$, alors $Q(M)$ est inversible et son inverse est $V(M)$.
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