Ordre de matrices

Bonjour

Si $D$ et $D'$ sont deux matrices diagonales telles que:

$$D' \ge D \ge 0 $$

et soit $T(\rho) = \begin{bmatrix}
1 & \rho \\
\rho & 1
\end{bmatrix}$ pour $\rho \in [-1,1]$

Auriez vous des idées de conditions simples sur $D$ et/ou $\rho$ pour avoir :

$D' T(\rho) D' \ge D T(\rho) D$ $\forall \rho \in [0,1]$

ou

$D' T(\rho) D' \ge D T(\rho) D$ $\forall \rho \in [-1,1]$

ou un résultat dans le genre ?