Produit vectoriel, déterminant, surface ...

Ça me semble pourtant exact, sauf la conclusion caricaturale que « la surface au carré égale le volume ».
Le point important ici est que tu as une infinité de prismes qui ont pour base ton parallélogramme. Et tu ne choisis pas n'importe lequel : tu choisis exactement celui qui vérifie l'égalité $V_{Prisme} = A_{Base}^2$, ou de façon équivalente, $H_{Prisme} = A_{Base}$ ($V$ étant le volume, $A$ étant l'aire et $H$ la hauteur).

Par contre, effectivement, il ne serait pas inutile de vérifier que tu sais précisément de quoi tu parles quand tu utilises le déterminant de deux vecteurs de $\mathbb{R}^3$. Ça a un sens pour moi mais il faut être conscient que c'est un abus de langage.

Le sens est celui dicté par la phrase « la surface d'un parallélogramme engendré par deux vecteurs égale le déterminant de ces deux vecteurs ».
Je préférerais que Bruce donne (ou trouve) lui-même une définition formelle, mais ça fait intervenir une application linéaire particulière $\varphi$ entre $\mathbb{R}^3$ et $\mathop{Vect}(u,v)$. L'abus de langage consiste alors à noter $\det(u,v)$ à la place de $\det(\varphi(u),\varphi(v))$.

Tout à fait d'accord.

Je suis d'accord avec le fait qu'il faut donner une base de $\mathop{Vect}(u,v)$ et que sans elle, ce que j'ai écrit (le déterminant) n'a aucun sens.

Bon, et bien puisque Bruce semble s'être désintéressé du sujet, je vais répondre à sa place à la question qui m'a été posée (j'vous jure, des fois 8-) ).

On se place dans le cas où $(u,v)$ est une famille libre et on applique le procédé de Gram-Schmidt:
$u':=\frac{u}{||u||}$ (où la norme est celle du produit scalaire de $\mathbb{R}^3$) et
$v':=\frac{v-<u',v>u'}{||v-<u',v>u'||}$.
De cette façon, on a une base $B=(u',v')$ et on a ramené la métrique de $\mathbb{R}^3$ sur $\mathop{Vect}(u,v)$ (on a un isomorphisme entre $\mathbb{R^2}$ et $\mathop{Vect}(u,v)$ via la base $B$).

On prend ensuite n'importe quelle projection $\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathop{Vect}(u,v)$ (avec donc $\varphi|_{\mathop{Vect}(u,v)} = \mathop{Id}\phantom{}_{\mathop{Vect}(u,v)}$). Et on vérifie que $\det(\varphi(u),\varphi(v))$ correspond bien à la mesure (de Hausdorff? (*)) induite par celle de $\mathbb{R}^3$ sur $\mathop{Vect}(u,v)$.

(*) Je ne sais pas si ça existe, une mesure de Lebesgue induite sur un sous-espace vectoriel... Peut-être en exprimant la mesure de $\mathbb{R}^3$ comme une mesure produit? De toute façon, le lien avec la métrique est plus immédiat en considérant la mesure de Hausdorff.

Cela vous va-t-il? C'est vrai que ça utilise plus de notions que ce que j'avais initialement prévu, mais je n'ai pas vraiment l'impression que l'on puisse s'en passer (en particulier de la structure euclidienne).

Ah mais je ne dis pas le contraire. Il m'arrive effectivement de temps en temps d'appeler « alouette » un éléphant mais en général, je ne m'attend pas à ce qu'il vole grâce à ça. Quant aux propriétés qui font le déterminant, je suis sans doute moins difficile que vous : on m'a dit que le déterminant servait à calculer l'aire d'un parallélogramme, j'en ai assumé que c'était la propriété importante dans le cadre de ce fil.

Je ne m'étais pas posé la question du signe, merci. Par contre, je crois que la restriction de ma construction à $\mathop{Vect}(u,v)$ est bien une forme bilinéaire (contrairement à ce que l'on pourrait attendre d'un déterminant, d'ailleurs).

PS. : Je suis conscient qu'il y a une contradiction à dire qu'une forme à valeurs positives et non-identiquement nulle est une forme bilinéaire ; je compte sur votre mansuétude pour ne pas m'en faire la remarque (:D

Pardon, je pensais à la symétrie : "ma" forme est symétrique mais on attend du déterminant qu'il soit anti-symétrique... Je ferais mieux de vérifier les mots que j'utilise en effet ><