Symétrie et projection

Bruce
Bruce
dans Algèbre
Bonjour, pouvez-vous me dire si une symétrie orthogonale est un endomorphisme orthogonal ? Est-ce un endomorphisme symétrique ? Je connais la définition d'une symétrie orthogonale je voudrais juste savoir si en plus de ça elle vérifie les deux critères proposés avant ! De même concernant les projections orthogonales ! Sont ils elles symétriques ? Et orthogonales ! Pour l'orthogonalité des projections j'en doute car ils elles ne conservent pas la norme.

Réponses

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Une symétrie orthogonale est orthogonale (c’est une isométrie).
    C’est quoi, un endomorphisme symétrique ? Une matrice, je connais mais un endomorphisme (l’écriture matricielle d’un endomorphisme dépend de la base utilisée) ? En revanche, c’est une symétrie parce que son carré est l’identité.
    Pour les projections orthogonales, sauf cas à déterminer par toi-même, ce ne sont évidemment pas des endomorphismes orthogonaux pour la raison que tu viens de citer. Le terme d’orthogonal vient du fait qu’une projection (orthogonale) induit une symétrie (orthogonale) et réciprocellulairement.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Hum, Nicolas, un endomorphisme $u$ d'un espace euclidien $E$ est dit symétrique (ou auto-adjoint) quand, pour tous $x,y$ de $E$, $\langle u(x),y\rangle=\langle x, u(y)\rangle$.

    @Bruce : essaie de répondre toi-même à tes questions en utilisant cette définition !
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Gargl, merci.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • P.
    P.
    Un endomorphisme symetrique et orthogonal $u$ est une symetrie orthogonale (et reciproquement). En effet, il existe une base orthonormale $e=(e_1,\ldots,e_n)$ telle que l'endomorphisme symetrique $u$ satisfasse
    $$[ u ]_e^e=\mathrm{diag}(t_1,\ldots,t_n).$$

    Mais comme $u^*=u^{-1}$ et que $[u^*]_e^e=\mathrm{diag}(t_1,\ldots,t_n)$ alors les $t_i=\pm 1.$ Si $V$ est le sous espace engendre par les $e_i$ tels que $t_i=1$ alors $u$ est la symetrie orthogonale par rapport a $V.$
  • Math Coss
    Math Coss
    NB : On peut diagonaliser un endomorphisme symétrique et orthogonal à moindres frais (i.e. sans utiliser le théorème spectral) en remarquant que si $u=u^*=u^{-1}$, alors $u^2=\mathrm{id}$.
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