Galois engendre ?

superpower · November 2017

Bonjour,
Je voudrais savoir si le groupe de Galois génère engendre les applications linéaires ?
Autrement dit si tout endomorphisme linéaire s’écrit combinaisons linéaires d’automorphismes de corps.
Merci d’avance.

Math Coss · November 2017

Il faudrait préciser : on se donne une extension galoisienne $L/K$ et on se pose la question : est-ce que tout endomorphisme $K$-linéaire de $L$ est combinaison linéaire d'éléments du groupe de Galois de $L$ sur $K$. C'est ça ?

Le cardinal du groupe de Galois est égal à la dimension de $L$ sur $K$ ; la dimension des endomorphismes $K$-linéaires de $L$ est le carré de cette dimension. Quels sont les entiers non nuls égaux à leur carré ?