Z/nZ et notion d'ordre
bonjour , est-que la notion d'ordre dans Z/nZ concerne le groupe additif ou le monoide unitaire (Z/nZ,x) .
l'ordre d'un élément x de Z/nZ est défini par xk=0 ou xk=1 avec k=ordre de x
c'est dommage qu'ils ne précisent pas dans les énoncés des exo s'il s'agit du groupe additif ou juste du monoide (Z/nZ,x)
l'ordre d'un élément x de Z/nZ est défini par xk=0 ou xk=1 avec k=ordre de x
c'est dommage qu'ils ne précisent pas dans les énoncés des exo s'il s'agit du groupe additif ou juste du monoide (Z/nZ,x)
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Par ailleurs, on peut s'intéresser, pour un élément $x$ inversible dans $\Z/n\Z$, au plus petit entier naturel non nul $k$ tel que $x^k=1$ (NB : si un tel $k$ existe, alors $x^{k-1}$ est un inverse de $x$ donc $x$ est nécessairement inversible). On parlera ainsi de l'ordre d'un élément dans le groupe $(\Z/n\Z)^\times$ des inversibles de $\Z/n\Z$.
(Et donc un élément inversible a deux ordres : un ordre additif, le plus petit $m$ tel que $mx=0$, et un ordre multiplicatif, le plus petit $k$ tel que $x^k=1$.)