Sous groupe de Z/nZ
bonjour , je cherche à determiner les sous groupes de Z/nZ
pour cela je pose le morphisme canonique f : Z ---->Z/nZ
k ----> classe(k)
ce morphisme est bien défini ; donc l'image d'un sous groupe de Z est FORCEMENT un sous groupe de Z/nZ d'apres les proprietés du morphisme , soit un entier p non diviseur de n ; on a pZ sous groupe de Z donc son image est un sous groupe de Z/nZ ; donc p.Z/nZ={p.k / k appartient à Z/nZ} est un sous groupe de Z/nZ . ceci n'est pas vrai car les sous groupes de Z/nZ sont p.Z/nZ avec p/n ! pouvez vous m'indiquer l'erreur dans mon raisonnement ?
pour cela je pose le morphisme canonique f : Z ---->Z/nZ
k ----> classe(k)
ce morphisme est bien défini ; donc l'image d'un sous groupe de Z est FORCEMENT un sous groupe de Z/nZ d'apres les proprietés du morphisme , soit un entier p non diviseur de n ; on a pZ sous groupe de Z donc son image est un sous groupe de Z/nZ ; donc p.Z/nZ={p.k / k appartient à Z/nZ} est un sous groupe de Z/nZ . ceci n'est pas vrai car les sous groupes de Z/nZ sont p.Z/nZ avec p/n ! pouvez vous m'indiquer l'erreur dans mon raisonnement ?
Réponses
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L'erreur dans ton raisonnement est "ceci n'est pas vrai".
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Pour comprendre ton erreur, travaille avec des exemples : $n=12$ et $p=7$, puis $p=3$ et $p=21$.
[Hors sujet.] Pour décrire les sous-groupes de $\Z/n\Z$, il vaut mieux partir d'un sous-groupe $H$, montrer que $f^{-1}(H)$ est un sous-groupe de $\Z$ et travailler encore un tout petit peu. -
merci Gabu mais je ne pense pas que l'erreur est là
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En effet math coss , la solution de la question n'est pas un souci ! Le souci que j'ai est où est l'erreur dans ce raisonnement qui semble parfait.
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Tu ne le penses pas, mais pourtant l'erreur est là.
Et regarde de plus près les exemples de Math Coss, tu comprendras pourquoi ton erreur est là. -
jJe ne trouve toujours pas d'explication X:-(
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Peut-être que $p(\Z/n\Z)$ est de la forme $p'\Z / n\Z$ avec $p'$ diviseur de $n$ ? Quitte à être lourd $p'\Z / n\Z$ doit être compris comme $(p'\Z) / (n\Z)$. Et quand je dis ``peut-être'', c'est une façon de parler. Et ce qui serait bien, après avoir traité les exemples indiqués par Math Coss, c'est, dans le cas général, de fournir $p'$ en fonction de $n,p$.
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As-tu comparé l'image de $21\Z$ et l'image de $3\Z$ dans $\Z/12\Z$, comme t'y poussait Math Coss ? Qu'as tu constaté ? Qu'en conclus-tu quant à ton "ceci n'est pas vrai car ..." ?
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je pense que l'erreur est dans mon calcul de l'image mais je ne sais pas ou exactement , par exemple l'image de 3Z est 3.Z/12Z . je comprend toujours pas
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Il faut faire plus de calculs ! Quelle est l'image de $21\Z$ ? Pour le savoir, il faut commencer par prendre quelques entiers $k$ et trouver pour chaque $k$ un représentant plus agréable de $21k$ dans $\Z/12\Z$. À partir de $k\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$, ce qui se passe devrait apparaître.
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merci claude ta réponse ma bien aidé ! en effet pZ/nZ est de la forme p'Z/nZ avec p'/n . c'est exactement ce que je demandais par l'erreur dans mon raisonnement ! Gabu et math coss ont essayer de me dire ça mais j'arrivais pas a les comprendre ! en tout cas merci a vous
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on peut donc conclure que p.Z/nZ est un sous groupe de Z/nZ meme si p ne divise pas n
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Attention, écriture incorrecte ! Si $p$ ne divise pas $n$, l'écriture $p\Z/n\Z$ n'a pas de sens puisque $n\Z$ n'est pas un sous-groupe de $p\Z$. C'est bien pourquoi tout le monde t'a parlé de l'image de $p\Z$ dans $\Z/n\Z$ et pas de $p\Z/n\Z$.
Tu n'as pas entièrement répondu à la question de Claude : qui est $p'$, en fonction de $p$ et $n$ ? -
@Bruce
Je te recommande plus que vivement de mettre des parenthèses : $p(\Z/n\Z)$ et PAS $p\Z/n\Z$. Et tu n"as pas répondu aux diverses questions. -
p'=n/p ?
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QUELLE EST L'IMAGE DE $21\Z$ dans $\Z/12\Z$ ?
Vas-tu enfin sérieusement t'attaquer à cette question ? -
mais je fais de mon mieux je te jure ! l'image de 21Z dans Z/12Z est trop longue a calculer faut que je calcul pour tout k dans Z le produit par 21 et ensuite diviser par 12 et voir le reste , je vais quand meme pas faire ça pour Z qui est infini ... donc comment vous avez calculer cette image ??
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Ce n'est pas possible de voir une telle flemme ! Retrousse-toi les manches, et tu verras bien ce qui se passe ! Si tu t'y étais mis, il y a longtemps que tu aurais compris ...
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c'est l'ensemble {cl(9),cl(6),cl(3),cl(0)}
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Poursuivons : comment peut-on décrire simplement l'image de $21\Z$ dans $\Z/12\Z$ ? Quel lien y a-t-il entre $21$, $12$ et ce mystérieux entier qui est apparu dans cette description ?
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21 est congru à -3 modulo 12 ?
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Il faut penser à préparer le terrain pour bientôt.
$$
\fbox {$\displaystyle p\left(\displaystyle {\Z \over n\Z} \right) = \displaystyle {? \Z \over n\Z}$}
$$ -
c'est ça que je cherche depuis 3h , sans trouver une reponse ! bien entendu en vas d'exemple je peux traiter tout les cas et deduire , mais si on met en généralisant je sais pas comment faire ! si j'arrive a determiner l'image de pZ je resoudrais mon problème , hélas je ne sais pas déterminer cette image
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Je ne t'ai toujours pas vu écrire clairement : l'image de $21\Z$ dans $\Z/12\Z$ est $p'\Z/n\Z$ avec $p'=$ quel diviseur de $12$ ?
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je vous en prie , dites moi l'image de pZ dans Z/nZ c'est quoi p' ?? c'est ce qui me faut pour comprendre s'il vous plaiiiiiit
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Quelle est l'image de $p$ dans $\mathbb Z/n \mathbb Z$ déjà ? Parmi $\bar{0}, \dots, \overline{n-1}$, quelle est l'image de $p$ ? Ça devrait te mettre sur la piste...
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c'est le reste de la division euclidienne de p par n et alors ?
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Et alors utilise ton cerveau maintenant, il ne sert à rien de te donner la réponse, je t'ai donné une indication suffisamment importante.
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j'aimerai bien avoir une réponse clair aulieu de me poser des questions parce que si j'avais les reponses je serais pas ici a demander
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Je t'ai tout dit, maintenant il faudrait que tu cherches. Regarde les définitions, et tout devrait devenir clair. Qu'est-ce que $p(\mathbb Z/n \mathbb Z)$ ? Quel rapport avec le reste $r$ de la division euclidienne de $p$ par $n$ ?
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p(Z/nZ)=r(Z/nZ) avec r le reste , mais ça ne signifie pas que r divise n
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L'IMAGE DE $21\Z$ DANS $\Z/12\Z$ EST $p'\Z/n\Z$ AVEC $p'=$ QUEL DIVISEUR DE $12$ ?
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mon dieu , Je ne sais pas
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Tu as pourtant déterminé cette image !!
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de quel travail tu parle gerard ! tu crois que quelqu'un va venir corriger ce que je fais ? si c'etait le cas je ne serais pas dans le forum et j'attendrais la correction pour comprendre !! je ne vais donner cet exercice a personne rassure toi , et puis j'aimerais bien que ça soit le cas pour que je comprenne mais dommage
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Enfin, pas trop tôt !
L'image de $21\Z$ dans $\Z/12\Z$ est $3\Z/12\Z$. Bien.
Aucune idée sur ce qu'est $3$ par rapport à $12$ et $21$ ? -
le pgcd peut etre ?
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Bingo !
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Je viens de me rendre compte que je te donnais des indications pour autre chose, mes excuses.
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mais c'est juste un hasard qu'on a trouvé le pgcd non ?
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Espérons que non !
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@Math Coss (et Bruce)
Faut-il sauver le ``soldat Bruce'' ?
@Bruce : à quel niveau travailles tu ? Est ce que cela t'est permis (?) d'écrire, pour deux groupes abéliens $E \subseteq F$, la chose suivante :
$$
p\left( {F \over E} \right) = {pF + E \over E}
$$
Oui, non ? Petite remarque : dans $\text{truc} / \text{machin}$, on doit toujours avoir l'inclusion $\text{machin} \subseteq \text{truc}$. -
Je pense que Bruce ne comprend pas pourquoi on trouve $p'=pgcd(n,p)$ .
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@geo
Moi, pareil. Et probablement que mon truc formel (mon dernier post), c'est pas top. Peut-être que j'aurais dû m'exprimer de manière moins formelle en disant que l'ensemble des $(pu) \bmod n$ lorsque $u$ parcourt $\Z$, c'est la même chose que l'ensemble des $(pu + vn) \bmod n$ lorsque $u,v$ parcourent $\Z$. Et peut-être à ce moment, on voit se pointer $\gcd(p,n)$ ? Et ensuite, on peut formaliser ? -
Le $pu+vn$ doit lui sauter aux yeux...
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Peut être qu'écrit de cette façon:
$\pi$ est le morphisme canonique surjectif on a $\pi(p\mathbb{Z})=p\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}$
ps: j'ai l'habitude d'écrire $\bar{x}=x+n\mathbb{Z}$
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