Matrice

Dire que que $Y \in \mathcal M_{3,1}(\R)$ ca veut dire que c'est une matrice qui a 3 lignes et une colonne, c'est donc un moyen compliqué de dire que c'est simplement un vecteur colonne avec trois composantes.

Tu n'as que deux inconnus ?

edit : Ah... Ton $Y$ est une matrice ? Du coup, non, ce n'est pas cela.
Essaye d'écrire ton système d'inconnu avec $$Y = \begin{pmatrix}x\\
y\\
z
\end{pmatrix}$$

Eh bien, vas-y !

C'est juste mais c'est un peu étonnant : en général, « on » ne fait pas résoudre un système dont la seule solution est $x=y=z=0$.

N'y aurait-il pas une erreur dans la matrice $A$ que tu as copiée ci-dessus ? Ou dans l'équation matricielle à résoudre ($AY=3Y$ au lieu de $AY=Y$ par exemple) ?

Ça semble raisonnable.

Tu t'es certainement trompé(e) quelque part puisque $\mathcal M_{3, 1}(\mathbb R)$ est de dimension $3$, donc tu ne risques pas de trouver de base de taille $2$.

C'est $B$ qui est fausse. Le système $AY=Y$, avec $Y=(x,y,z)$, s'écrit
\[\begin{cases}x -y -2z=0 \\
2x -2y -4z=0 \\
-x+y+ 2z=0,\end{cases}\]
et on voit que les trois équations sont proportionnelles. Autrement dit, le système est équivalent à $x-y-2z=0$. Mais ça, c'est une équation non nulle dans un espace de dimension $3$. Plus concrètement, c'est un plan dans l'espace... Combien d'éléments dans une base, alors ?

Eh bien, c'est fait !. On a un système d'une équation à trois inconnues : $x-y-2z=0$. On l'échelonne. Ah, c'est déjà fait. On choisit autant d'inconnues principales qu'il y a d'équations : $x$. Cela veut dire que pour tout choix de $y$ et $z$, on peut trouver un unique $(x,y,z)$ solution. Autrement dit, on a :
\[x-y-2z=0\iff \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y+2z\\y\\z\end{pmatrix}
\iff \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}.\]
Ça te suffit pour conclure ?

Math Coss pousse le dévouement jusqu'à calculer pour toi une base de l'espace des $Y$ tels que $AY=Y$. Tu ne vois pas de combien de vecteurs se compose cette base ? Visiblement, tu n'as pas bien lu ce qu'il écrit, et quand tu dis "Oui, j'avais trouvé ceci", c'est de la blague !

Non, tu ne l'avais pas trouvé. Bon sang, essaie de comprendre ce que raconte Math Coss !

Et donc, une base de $\{Y,\ AY=Y\}$ est... et une base de $\{Y,\ AY=2Y\}$ est... Et en recollant, on obtient une famille qui est une base parce que...